二次関数 f について f(x) <= 0 の解がちょうど -1 <= x <= 5 であり、f の最小値が -18 であるとき、不等式 f(x) <= 6 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   解集合から 2 つの解と凸の向きをそのまま読み取る。 $f(x)\le0$ がちょうど有界な閉区間で成り立つので、$f$ は端点で $0$ になり、その間では真に負である。つまり $-1$ と $5$ が 2 つの解であり、放物線は下に凸である（上に凸なら $f\le0$ は外側の 2 本の半直線になってしまう）。したがって

   $f(x)=a(x+1)(x-5),\qquad a>0.$

2. 2

   平方完成せずに対称性で頂点を求める。 下に凸の放物線では、最小値は 2 つの解のちょうど中間にある：

   $x_{\text{頂点}}=\frac{-1+5}{2}=2.$

   与えられた最小値が現れうるのはここだけである。

3. 3

   最小値を $a$ についての方程式に変える。

   $f(2)=a(2+1)(2-5)=-9a$

   $-9a=-18\quad\Longrightarrow\quad a=2$

   符号の確認も通る：$a=2>0$ で、ステップ 1 で導いた下に凸と整合する。よって

   $f(x)=2(x+1)(x-5)=2x^2-8x-10.$

4. 4

   $f(x)\le 6$ を解く。 すべてを一方の辺に移し、正の最高次の係数で割る（正の数で割っても不等号は反転しない）：

   $2x^2-8x-10\le6\;\Longrightarrow\;2x^2-8x-16\le0\;\Longrightarrow\;x^2-4x-8\le0.$

5. 5

   境界の方程式の解を求め、正しい側を選ぶ。

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt3}{2}=2\pm2\sqrt3$

   $x^2-4x-8$ は下に凸なので、$\le0$ となるのは 2 つの解の間である：

   $2-2\sqrt3\le x\le 2+2\sqrt3\qquad(\text{おおよそ }-1.464\le x\le5.464).$

6. 6

   与えられた条件に照らして答えを確認する。 新しい区間は $x=2$ を中心にしており、対称軸は同じで、$[-1,5]$ を真に含んでいる。下に凸の放物線では高さ $6$ が高さ $0$ より上にあるので、そうならなければならない。端点を代入すると $f\left(2+2\sqrt3\right)=2\left(3+2\sqrt3\right)\left(-3+2\sqrt3\right)=2\left(12-9\right)=6$ で、ちょうど境界の値になる。