不等式 (2/5)^x < √((4/25)^((3x + 2)/x)) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず定義域を述べる。 指数 $\frac{3x+2}{x}$ は $x=0$ で定義されないので、$x\ne 0$ が終始付きまとう制約になる。それ以外はすべての実数 $x$ で定義される。正の底を任意の実数乗した値は正だからである。

2. 2

   両辺を同じ底で書く。 $\frac{4}{25}=\left(\frac{2}{5}\right)^2$ に気づけば、平方根が 2 乗を打ち消す：

   $\sqrt{\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac{3x+2}{x}}}=\left[\left(\tfrac{2}{5}\right)^{2\cdot\frac{3x+2}{x}}\right]^{1/2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

   不等式は同じ底どうしの指数の比較になる：

   $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}<\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

3. 3

   底が 1 より小さいので不等号の向きを変える。 関数 $t\mapsto\left(\frac25\right)^t$ は減少関数なので、値が小さいことは指数が大きいことに対応する：

   $x>\frac{3x+2}{x}$

   この反転を忘れるのが、底が分数の指数不等式で最も多い誤りである。

4. 4

   すべてを一方の辺に移す —— $x$ を掛けてはいけない。 両辺に $x$ を掛けると $x$ の符号で場合分けが必要になる。引くほうが安全である：

   $x-\frac{3x+2}{x}>0\;\Longleftrightarrow\;\frac{x^2-3x-2}{x}>0$

5. 5

   臨界点を求めて符号表を作る。 分子が $0$ になるのは $x^2-3x-2=0$ のとき、すなわち

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\approx-0.5616\ \text{および}\ 3.5616$

   分母の零点と合わせると、臨界点は小さい順に $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$、$0$、$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ である。4 つの区間で 1 点ずつ調べると符号は $-,\;+,\;-,\;+$ となる。

6. 6

   解集合を書き、検算する。 商が正になるのは

   $x\in\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\,0\right)\cup\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\,+\infty\right)$

   $x=-0.4$ で確認すると、左辺は $0.4^{-0.4}\approx1.44$、右辺は $0.4^{(3(-0.4)+2)/(-0.4)}=0.4^{-2}=6.25$ で不等式は成り立つ。$x=1$ では $0.4<0.4^{5}=0.01$ は偽であり、符号表の予想どおりである。