y = 2x^2 - 21x + 64 と y = 3x + a（a は定数）の連立において、2 つのグラフがちょうど 1 点 (x, y) で交わるとき、x の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   交点の条件を 1 本の方程式に直す。 ある点が両方のグラフ上にあるのは $y$ の 2 つの式が一致するときなので、等号で結ぶ：

   $2x^2-21x+64=3x+a$

   交点はすべてこの方程式の解に対応し、逆も成り立つ。

2. 2

   すべてを一方の辺に移す。 項を整理すると標準形の二次方程式になる：

   $2x^2-21x-3x+64-a=0$

   $2x^2-24x+(64-a)=0$

   未知の定数 $a$ は定数項にしか現れない。この観察がこの問題を短くする。

3. 3

   「交点がちょうど 1 つ」を「実数解がちょうど 1 つ」に翻訳する。 二次方程式の実数解がちょうど 1 つになるのは、判別式が $0$ になるときに限る：

   $\Delta=b^2-4ac=(-24)^2-4(2)(64-a)=0$

   幾何的には、直線が放物線を 2 回横切るのでも外れるのでもなく、接しているということである。

4. 4

   近道を使う：重解は二次関数の頂点にある。 $\Delta=0$ のとき 2 つの解は平均の位置で一致し、$x=-\dfrac{b}{2a}$ となる。ここでは $b=-24$、最高次の係数は $2$ なので

   $x=\frac{24}{2\cdot 2}=6$

   この計算に $a$ は一度も現れない。$a$ は定数項をずらすだけで、対称軸を動かさないからである。だからこそ $a$ を教えずに $x$ を問うことができる。

5. 5

   接することを明示的に見たいなら $a$ も求める。 $\Delta=0$ を解くと：

   $576-8(64-a)=0\;\Longrightarrow\;576-512+8a=0\;\Longrightarrow\;a=-8$

   二次方程式は $2x^2-24x+72=2(x-6)^2=0$ となり、重解 $x=6$ が確かめられる。

6. 6

   交点がただ 1 つであることを確かめる。 $x=6$ のとき放物線は $2(36)-21(6)+64=72-126+64=10$、直線は $3(6)-8=10$ を与える。どちらの曲線も $(6,10)$ を通り、判別式が $0$ なのでほかでは交わらない：

   $\boxed{x=6}$