多項式 a^3b + 9a^2b^2 - 4ab^5 と a^3b - 3a^2b^2 + ab^5 の差を完全に簡単にし、その結果の項の個数と次数を答えよ。

Step-by-step solution

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   何よりも先に、括弧を付けて引き算を書く。 「$P$ と $Q$ の差」とはその順で $P-Q$ を意味し、2 つ目の多項式には括弧を付けなければならない：

   $\big(a^3b+9a^2b^2-4ab^5\big)-\big(a^3b-3a^2b^2+ab^5\big)$

   括弧を忘れて $Q$ の最初の項だけを引くのが、この種の問題で最も多い誤りであり、答えの項数も次数も変わってしまう。

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   マイナスを 2 つ目の多項式のすべての項に分配する。 それぞれの符号が反転する：

   $a^3b+9a^2b^2-4ab^5\;-\;a^3b\;+\;3a^2b^2\;-\;ab^5$

   $-(-3a^2b^2)=+3a^2b^2$、$-(+ab^5)=-ab^5$ に注意。3 つのうち 2 つの符号が変わるので、真ん中の項は打ち消し合うのではなく足し合わさる。

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   同類項をまとめる。 2 つの文字の指数が両方とも一致するときにだけ「同類」である：

   $a^3b-a^3b=0$

   $9a^2b^2+3a^2b^2=12a^2b^2$

   $-4ab^5-ab^5=-5ab^5$

   よって完全に簡単にした差は

   $12a^2b^2-5ab^5$

   である。$a^3b$ の項は 2 つの多項式で同一だったので相殺する。これが答えを 3 項から 2 項に落とす原因である。

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   項の個数を数える：二項式である。 整理後に残る同類でない項はちょうど 2 つ、$12a^2b^2$ と $-5ab^5$ である。両者は同類項ではない（$a^2b^2$ と $ab^5$）ので、これ以上まとめられず、結果は二項式である。

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   各項の中で指数を足し、その最大値を次数とする。 複数の文字をもつ項の次数は、単独の指数の最大値ではなく指数の和である：

   $\deg\!\left(12a^2b^2\right)=2+2=4,\qquad \deg\!\left(-5ab^5\right)=1+5=6$

   多項式の次数はこれらの最大値なので、次数は $6$ である。よくある誤りは最初の項から次数を読み取ることで、それだと $4$ という誤答になる。ここでは項が次数の降順に並んでいないからである。

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   結論を述べる。 完全に簡単にした差は $12a^2b^2-5ab^5$、すなわち次数 6 の二項式である。