次の多項式を積の形に表せ。(a) 27x^3 + y^3、(b) x^3 - 8y^3、(c) x^3 + 512。さらに (x + 1)(x^2 - x + 1) を展開し、その結果が用いた公式をどう裏づけるかを説明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの公式を、記号ではなく形として覚える。 3 乗の因数分解はすべて次から来る：

   $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

   この型は記号としてよりも、文として覚えるとよい。1 つ目の因子の符号はもとの式と同じ（プラスにはプラス、マイナスにはマイナス）、2 次の因子の中では真ん中の符号が逆になり、両端の 2 項は常にプラスである。この規則ひとつで、最も多い誤り、つまり $a^2-ab+b^2$ の代わりに $a^2-2ab+b^2$（これはただの $(a-b)^2$）と書いてしまうことを防げる。

2. 2

   (a) $27x^3+y^3$ の中の 2 つの立方数を見抜く。 ここでやることは $27=3^3$ と気づくことだけである。よって

   $27x^3=(3x)^3,\qquad y^3=y^3\ \Longrightarrow\ a=3x,\; b=y$

   3 乗の和の公式に代入すると：

   $27x^3+y^3=(3x+y)\big((3x)^2-(3x)(y)+y^2\big)=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$

   $(3x)^2=9x^2$ であって $3x^2$ ではない点に注意。項全体 $3x$ を 2 乗するところが、符号は合っていても数値を間違えやすい箇所である。

3. 3

   (b) $x^3-8y^3$ には差の公式を使う。 ここでは $8y^3=(2y)^3$ なので $a=x$、$b=2y$ となり、マイナスの公式が当てはまる：

   $x^3-8y^3=(x-2y)\big(x^2+x(2y)+(2y)^2\big)=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$

   2 次の因子 $x^2+2xy+4y^2$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できない。$x$ についての 2 次式とみた判別式が $(2y)^2-4(4y^2)=-12y^2<0$ だからである。これはすべての3 乗の因数分解に共通する事実であり、答えがいつもちょうど 2 つの因子になる理由でもある。

4. 4

   (c) $512$ が立方数であることに気づく。 $512=8^3$ なので、3 乗の和の公式で $a=x$、$b=8$ とする：

   $x^3+512=x^3+8^3=(x+8)(x^2-8x+64)$

   定数項で手早く確認する。定数項どうしの積がもとの定数を再現するはずで、$8\times 64=512$。✓

5. 5

   $(x+1)(x^2-x+1)$ を展開して、公式を反対側から眺める。 項ごとに分配すると：

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   真ん中はすべて 2 つずつ打ち消し合う——$-x^2$ と $+x^2$、$+x$ と $-x$——ので、残るのは

   $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$

   これはまさに $a=x$、$b=1$ とした $a^3+b^3$ である。この打ち消しこそ、2 次の因子の真ん中の符号が $-ab$ でなければならない理由である。余った 2 つの中間項を消してくれるのがこの項なのである。

6. 6

   掛け戻すか、値を代入して各答えを確かめる。 いちばん速い確認は都合のよい数を代入することである。(c) で $x=2$ とすると、もとの式は $8+512=520$、因数分解形は $(2+8)(4-16+64)=10\times 52=520$。✓ 各小問で数値検算を 1 回ずつ行うほうが、式を読み返すよりも符号ミスをずっと確実に捕まえられる。