P(x) を 4 次多項式とし、P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) = 9, P(4) = 13, P(5) = 1 とする。P(x) の解の和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   代数に入る前に、与えられた値のパターンを探す。 はじめの 4 つの値 $1,5,9,13$ は $4$ ずつ増えているので、直線

   $L(x)=4x-3$

   上にある。実際 $4(1)-3=1$、$4(2)-3=5$、$4(3)-3=9$、$4(4)-3=13$ である。パターンから外れるのは 5 番目の $P(5)=1$ だけである（直線なら $17$ になるはず）。

2. 2

   パターンを引いて既知の解を作り出す。

   $Q(x)=P(x)-(4x-3)$

   とおくと $Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0$ になる。$1$ 次式を引いても $4$ 次の最高次の項は変わらないので $Q$ は依然として 4 次式であり、4 つの解が分かっている 4 次式は定数倍を除いて完全に決まる：

   $Q(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),\qquad a\neq 0$

3. 3

   $P$ を明示的に書く。 引き算をもとに戻すと

   $P(x)=4x-3+a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

   この 1 本の式で 5 つの条件のうち 4 つがすでに表されている。残る 1 つが $a$ を決める。

4. 4

   $P(5)=1$ から $a$ を求める。 $x=5$ を代入すると：

   $1=4(5)-3+a(4)(3)(2)(1)=17+24a$

   $24a=-16\qquad\Longrightarrow\qquad a=-\frac{2}{3}$

5. 5

   解と係数の関係を使うと $a$ が消える。 $P(x)=Ax^4+Bx^3+\dots$ に対し、解の和は $-\dfrac{B}{A}$ である。上位 2 項だけ展開すると

   $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^4-(1+2+3+4)x^3+\cdots=x^4-10x^3+\cdots$

   なので $A=a$、$B=-10a$ である（後ろの $4x-3$ はこの 2 つの係数に影響しない）。したがって

   $-\frac{B}{A}=-\frac{-10a}{a}=10$

   $a$ は約分されて消える。$a=-\tfrac{2}{3}$ を求めたのは有用な確認だったが、答えに必要なのは $a\neq 0$ だけであり、それは $P$ が $4$ 次であることから保証されている。

6. 6

   答えを述べる。 $P$ の 4 つの解の和は

   $\boxed{10}$

   実際の多項式 $P(x)=-\tfrac{2}{3}x^4+\tfrac{20}{3}x^3-\tfrac{70}{3}x^2+\tfrac{112}{3}x-19$ で確かめると、与えられた 5 つの値をすべて再現し、$-\tfrac{20/3}{-2/3}=10$ となる。