4 次方程式 2x^4 - 9x^3 + 3x^2 + 11x - 3 = 0 を解き、4 つの解をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解の候補を列挙する。 有理根定理より、有理数解 $p/q$ では $p$ が定数項 $-3$ を割り、$q$ が最高次の係数 $2$ を割る。よって候補は

   $\pm 1,\quad \pm 3,\quad \pm\tfrac12,\quad \pm\tfrac32$

   の 8 個であり、当てずっぽうよりはるかによい。

2. 2

   候補を試して最初の解を見つける。 $f(x)=2x^4-9x^3+3x^2+11x-3$ と書くと：

   $f(1)=2-9+3+11-3=4,\qquad f(3)=162-243+27+33-3=-24$
   $f(-1)=2+9+3-11-3=0$

   よって $x=-1$ が解であり、$(x+1)$ が因数である。係数の見た目に誘われるが $x=3$ は解ではない。決めつけずに必ず値を計算すること。

3. 3

   組立除法で $(x+1)$ を割り出す。 係数 $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$ を下ろし、$-1$ を使うと：

   $2 \quad -11 \quad 14 \quad -3 \quad | \ 0$

   なので

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)\left(2x^3-11x^2+14x-3\right)$

   余りが $0$ になることで割り算が確かめられる。4 次の問題が 3 次の問題になった。

4. 4

   同じ候補の中から 3 次式の解を探す。 $g(x)=2x^3-11x^2+14x-3$ について：

   $g(1)=2,\qquad g(3)=-6,\qquad g\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac32,\qquad g\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{27}{4}-\tfrac{99}{4}+21-3=0$

   よって $x=\tfrac32$ が解で、因数 $(2x-3)$ を与える。割ると

   $2x^3-11x^2+14x-3=(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

5. 5

   残った二次方程式を解く。 最後の因数に有理数解はないので、$x^2-4x+1=0$ に解の公式を使う：

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3$

6. 6

   まとめて因数分解を検算する。 全体として

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

   となる。右辺を展開するともとの係数 $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$ が再現される。もう 1 つの確認として解と係数の関係を使う：4 つの解の和は $-1+\tfrac32+(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)=\tfrac92$ で $-\frac{-9}{2}$ に一致し、積は $-1\cdot\tfrac32\cdot(4-3)=-\tfrac32$ で $\frac{-3}{2}$ に一致する。