不等式 (|x − 2| − x) / (x² − 4) ≤ 0 を解き、解を区間で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   式が定義されない点を先に除外する。 分数は分母が 0 でないときにだけ定義される。ここでは $x^2-4=(x-2)(x+2)$ なので

   $x\ne 2\quad\text{かつ}\quad x\ne -2.$

   この 2 点は分子がどうであれ解集合に入ることはない。$\le$ という不等号があっても、分母が 0 になるのを救うことはできない。

2. 2

   絶対値を境目で場合分けする。 $|x-2|$ は $x=2$ で式が変わる。$x\ge 2$ のときは $x-2$、$x<2$ のときは $2-x$ に等しい。不等式全体の振る舞いが両側で異なるので、それぞれの側で別々に解いてから合併をとる。試しの数値を代入するのではなく代数的に処理し、テスト点の間で解を取りこぼさないようにする。

3. 3

   場合 1：$x>2$ のとき。 ここでは $|x-2|=x-2$ なので、分子は定数にまで縮む：

   $\frac{(x-2)-x}{x^2-4}=\frac{-2}{x^2-4}.$

   $x>2$ では分母 $x^2-4$ が正なので、この分数はそのような $x$ すべてで負になる。よって半直線 $(2,+\infty)$ 全体が不等式を満たす（$x=2$ 自身はステップ 1 で除外済み）。

4. 4

   場合 2：$x<2$ のとき。 ここでは $|x-2|=2-x$ なので分子は $2-2x=2(1-x)$ となり

   $\frac{2(1-x)}{(x-2)(x+2)}\le 0.$

   分子は $x=1$ で 0、$x<1$ で正。因子 $x-2$ はこの場合の全体で負。因子 $x+2$ は $x=-2$ で符号が変わる。

5. 5

   場合 2 の符号表を作る。 臨界値 $-2$ と $1$ で数直線を分ける：

   区間	$2(1-x)$	$x-2$	$x+2$	分数
   $x<-2$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $-2<x<1$	$+$	$-$	$+$	$-$
   $1<x<2$	$-$	$-$	$+$	$+$

   分数が負になるのは $-2<x<1$ だけである。$x=1$ では分子が $0$、分母は $-3\ne 0$ なので分数の値は $0$ となり、$0\le 0$ は成り立つ。よって $x=1$ は解に含まれる。

6. 6

   2 つの場合を合併する。 場合 2 の $(-2,1]$ と場合 1 の $(2,+\infty)$ を合わせると：

   $(-2,\,1]\ \cup\ (2,\,+\infty).$

   数値で確かめると裏づけが取れる：$x=0$ では値が $-0.5$（成立）、$x=1.5$ では $+0.571$（不成立）、$x=3$ では $-0.4$（成立）、$x=-2.5$ では $+3.11$（不成立）。