3 次多項式 f(x) は −3, 10, 6 を零点にもち、x³ の係数は 5 である。f(x) の式を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   各零点を因数に変える。 因数定理より、$f(r) = 0$ であることと $(x - r)$ が $f(x)$ を割り切ることは同値である。零点 $-3$、$10$、$6$ はそれぞれ因数 $(x+3)$、$(x-10)$、$(x-6)$ を与える。符号に注意：零点 $-3$ からは $\bigl(x-(-3)\bigr) = (x+3)$ が出る。

2. 2

   未知の定数倍を考慮に入れる。 1 次因数 3 つですでに 3 次にはなるが、それだけでは決まらない。定数倍しても零点は変わらないからである。したがって最も一般的な形は

   $f(x) = a(x+3)(x-10)(x-6)$

3. 3

   最高次の係数から $a$ を決める。 展開したとき $x^3$ に到達する唯一の方法は各因数から $x$ を取ることなので、$x^3$ の項は $a \cdot x \cdot x \cdot x = ax^3$ である。与えられた $x^3$ の係数と比べて：

   $a = 5 \quad\Longrightarrow\quad f(x) = 5(x+3)(x-10)(x-6)$

4. 4

   展開して標準形にする。 まずきれいに組める 2 つの因数を掛ける：

   $(x+3)(x-10) = x^2 - 7x - 30$

   次に残りの因数を掛ける：

   $(x^2 - 7x - 30)(x-6) = x^3 - 13x^2 + 12x + 180$

   最後に $5$ を分配する：

   $f(x) = 5x^3 - 65x^2 + 60x + 900$

5. 5

   3 つの零点が本当に消えるか確認する。 標準形に各解を代入すると $f(-3) = f(6) = f(10) = 0$ となり、$x^3$ の係数も要求どおり $5$ である。因数分解形と展開形はどちらも正解である。因数分解形は零点を、標準形は係数を見せてくれる。