x = (√3 + 1)/(√3 − 1)、y = (√3 − 1)/(√3 + 1) のとき、x + y、xy、x^2 + y^2、x^3 + y^3、4x^2 + 7xy + 4y^2 の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず各分母を有理化する —— 分母から根号が出てしまえば、以降のすべての手順が簡単になる。 分子と分母に分母の共役を掛ける：

   $x=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=\frac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3$

   $y=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1}=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3$

   $x$ と $y$ が共役な形で出てきており、$y=1/x$ である。2 つの分数はもともと互いに逆数だったのである。

2. 2

   2 つの基本対称式を計算する。 残りの式はすべてこの 2 つから組み立てられるので、この問題で本当に計算するのはここだけである：

   $x+y=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$

   $xy=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$

   どちらでも根号が消える。$x$ と $y$ を別々に扱うのではなく $x+y$ と $xy$ で扱う理由がまさにこれである。

3. 3

   和の 2 乗から $x^2+y^2$ を得る。 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ を展開して移項すると、

   $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4^2-2(1)=14.$

4. 4

   和の 3 乗から $x^3+y^3$ を得る。 $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ なので、

   $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=4^3-3(1)(4)=64-12=52.$

   （因数分解 $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=4(14-1)=52$ でも同じ値になり、よい相互確認になる。）

5. 5

   最後の式を既知の量だけで書けるように組み替える。

   $4x^2+7xy+4y^2=4(x^2+y^2)+7xy=4(14)+7(1)=56+7=63.$

   コツは真ん中の係数を分けることである。$7xy=8xy-xy$ でもうまくいくが、$4(x^2+y^2)$ を直接くくり出すほうが短い。

6. 6

   数値で確認する。 $x=2+\sqrt3\approx3.7320508$、$y=2-\sqrt3\approx0.2679492$ である。すると $x+y\approx4.000000$、$xy\approx1.000000$、$x^3+y^3\approx51.999999$、$4x^2+7xy+4y^2\approx63.000000$ となり、厳密な値と一致する。