ある生徒が x³ - 2x² - 10x + 21 を x² + x - 7 で、割り算の表を使って割っている。商の最初の欄は x で、2 番目の欄は A とされている。A の値を求めよ。

Step-by-step solution

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   割り算の表の 1 マスが何を表すかを理解する。 割り算の表とは、筆算を格子に並べ替えたものである。商の各欄は、割る式の最高次の項と掛け合わせたときに、被除数の残りの最高次の項をちょうど再現するように選ばれる。だから $A$ に不思議なところはない。それは商の 2 番目の項である。

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   最初の欄を求め直して設定を確認する。 被除数の最高次の項を、割る式の最高次の項で割る：

   $\frac{x^3}{x^2} = x$

   これは与えられた最初の欄と一致するので、表はいつもどおり左から右へ埋められている。

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   掛け戻して引く。 割る式全体に最初の欄を掛け、その積を被除数から引く。これが $x^3$ の項を消す操作である：

   $x(x^2 + x - 7) = x^3 + x^2 - 7x$

   $(x^3 - 2x^2 - 10x + 21) - (x^3 + x^2 - 7x) = -3x^2 - 3x + 21$

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   最高次の項の割り算を繰り返して $A$ を得る。 新しい被除数の最高次の項は $-3x^2$、割る式の最高次の項は依然として $x^2$ である：

   $A = \frac{-3x^2}{x^2} = -3$

   次数がちょうど相殺するので、$-3x$ ではなく定数になる。

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   表を仕上げ、余りを確認する。 掛け戻すと $-3(x^2 + x - 7) = -3x^2 - 3x + 21$ となり、引くと $0$ になる。よって割り切れる：

   $x^3 - 2x^2 - 10x + 21 = (x^2 + x - 7)(x - 3)$

   右辺を展開すると被除数が項ごとに再現され、商 $x - 3$ と値 $A = -3$ の両方が確かめられる。