指数法則を用いて、-8m^5n^8 を 2m^7n^-3 で割った式全体を -4 乗した式を簡単にせよ。答えは正の指数だけで表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   外側の指数に手を付ける前に、括弧の中を簡単にする。 先に割り算をしておくと底ができるだけ小さくなるので、外側の累乗は 6 項の分数ではなく 3 つの簡単な因子に適用される。

2. 2

   係数を割り、指数を引く。 同じ底では $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ なので：

   $\frac{-8}{2}=-4,\qquad m^{5-7}=m^{-2},\qquad n^{8-(-3)}=n^{11}$

   $n$ の指数の二重否定に注意：$-3$ を引くことは $3$ を足すことである。括弧の中はいま $\left(-4m^{-2}n^{11}\right)^{-4}$ になっている。

3. 3

   外側の指数を各因子に分配する。 $(abc)^k=a^kb^kc^k$ と $(a^m)^k=a^{mk}$ を使って：

   $(-4)^{-4}\left(m^{-2}\right)^{-4}\left(n^{11}\right)^{-4} = (-4)^{-4}\,m^{8}\,n^{-44}$

4. 4

   数の因子を計算し、符号に注意する。 $-4$ は偶数乗されるので結果は正になる：

   $(-4)^{-4}=\frac{1}{(-4)^4}=\frac{1}{256}$

   外側の指数が奇数だったら、この因子は負になっていた。

5. 5

   すべての負の指数を逆数に書き換える。 $n^{-44}=\dfrac{1}{n^{44}}$ なので、各部分を合わせると

   $\frac{m^{8}}{256\,n^{44}}$

   になる。

6. 6

   手早く代入して確かめる。 $m=1.7$、$n=1.3$ とすると、もとの式は $2.6415\times10^{-6}$ になり、$\dfrac{1.7^{8}}{256\cdot 1.3^{44}}$ も同じ $2.6415\times10^{-6}$ になる。