(2 - (a - b)/(a + b)) × (3 - (a + 2b)/(a + b)) の -1 乗 × (2a + b) - 3b を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   何かをする前に構造を読む。 3 つの因子が掛け合わされ、最後に $-3b$ が引かれている。真ん中の因子は指数 $-1$ を持つが、これは単に逆数という意味である。引き算ではないし、括弧の中に分配されるわけでもない。方針はこうである：各括弧を 1 つの分数にまとめ、2 つ目を逆さにし、掛け合わせ、そのあとで初めて最後の $-3b$ を扱う。

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   1 つ目の括弧を 1 つの分数にする。 $2$ を分母 $a+b$ の形で書いて 2 つの項をまとめられるようにする：

   $2-\frac{a-b}{a+b}=\frac{2(a+b)-(a-b)}{a+b}=\frac{2a+2b-a+b}{a+b}=\frac{a+3b}{a+b}.$

   分数の前のマイナスは $a-b$ の両方の項に届かなければならない。そこから $+b$ が出てくる。

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   2 つ目の括弧にも同じことをして、逆数にする。 $3=\dfrac{3(a+b)}{a+b}$ を使うと：

   $3-\frac{a+2b}{a+b}=\frac{3a+3b-a-2b}{a+b}=\frac{2a+b}{a+b}.$

   指数 $-1$ はこれを逆さにする：

   $\left(\frac{2a+b}{a+b}\right)^{-1}=\frac{a+b}{2a+b}.$

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   3 つの因子を掛けて約分する。 これですべてが約分の形に並ぶ —— $a+b$ が $a+b$ と、$2a+b$ が 3 つ目の因子と約分される：

   $\frac{a+3b}{a+b}\cdot\frac{a+b}{2a+b}\cdot(2a+b)=a+3b.$

   この約分こそ、その分子の形でこの問題が作られている理由である。

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   残った項を引く。 最後の $-3b$ が生き残った $3b$ を消す：

   $a+3b-3b=a.$

   つまり式全体はただの $a$ である。もとの形が持っていた条件も述べておく価値がある：分数のために $a+b\neq 0$、$-1$ 乗の底が $0$ でないために $2a+b\neq 0$ が必要である。$a=-\tfrac{37}{5}$、$b=\tfrac{38}{9}$ で数値検算すると $-\tfrac{37}{5}$ が返り、$a$ と一致する。