2 つの都市は 120 km 離れている。車が一方の都市からもう一方へ行き、戻ってくるのに合計 4 時間 24 分かかった。帰りの速さは行きより 20% 速い。行きの速さを求めよ。

Step-by-step solution

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   混じった単位の時間を 1 つの単位に直す。 速さは km/h なので、時間も時間単位にしなければならない：

   $4\text{ 時間 }24\text{ 分}=4+\frac{24}{60}=4.4\text{ 時間}=\frac{22}{5}\text{ 時間}$

   $24$ 分を分のまま使うのが、この問題を壊す最も多い原因である。

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   未知数に名前を付け、もう一方の速さをそれで表す。 行きの速さを $v$ km/h（$v>0$）とする。$20\%$ 増しは $1.2$ 倍なので、帰りの速さは

   $1.2v=\frac{6v}{5}\ \text{km/h}$

   である。小さいほうの速さを未知数に選ぶと分数が簡単になる。

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   各区間の時間を「距離÷速さ」で書く。 どちらの区間も $120$ km である：

   $t_{\text{行き}}=\frac{120}{v},\qquad t_{\text{帰り}}=\frac{120}{1.2v}$

   足し合わせられるのは速さではなく時間である。往復の平均の速さは 2 つの速さの平均ではないので、$v$ と $1.2v$ を平均してはいけない。

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   合わせる前に 2 つ目の分数を簡単にする。 $120$ を $1.2$ で割るとちょうど割り切れる：

   $\frac{120}{1.2v}=\frac{100}{v}$

   なので、合計時間の方程式は

   $\frac{120}{v}+\frac{100}{v}=4.4\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{220}{v}=4.4$

   となる。

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   解いて意味を確かめる。 両辺に $v$ を掛け、$4.4$ で割ると：

   $v=\frac{220}{4.4}=50$

   $\boxed{v=50\ \text{km/h}}$

   帰りの速さは $1.2\times 50=60$ km/h である。

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   もとの問題文に照らして確認する。 行き：$120/50=2.4$ 時間。帰り：$120/60=2$ 時間。合計 $2.4+2=4.4$ 時間 $=4$ 時間 $24$ 分で、$60$ は確かに $50$ より $20\%$ 大きい。なお往復の平均の速さは $240/4.4\approx 54.5$ km/h であって $55$ ではない。速さは平均できないことをもう一度思い出させてくれる。