関数 f(x) = 1 / (8/(x − 5) − 2) の定義域を求め、区間で表せ。

Step-by-step solution

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   分数の個数ではなく、分母の個数を数える。 繁分数は壊れる箇所が 2 つ以上ある。この関数では 2 つで、内側の分母 $x-5$ と、外側の分母 $\frac{8}{x-5}-2$ である。どちらも $0$ であってはならず、それぞれが別々の除外値を与える。

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   制約 1 —— 内側の分母。 $\frac{8}{x-5}$ には

   $x-5\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 5.$

   が必要である。

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   制約 2 —— 外側の分母。 外側の分母を $0$ とおいて解き、その根を除外する：

   $\frac{8}{x-5}-2=0\ \Longrightarrow\ \frac{8}{x-5}=2\ \Longrightarrow\ 8=2(x-5)\ \Longrightarrow\ x=9,$

   よって $x\ne 9$ である。

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   なぜ簡約する前に制約を求めなければならないのか。 分子と分母に $x-5$ を掛けるときれいな形

   $f(x)=\frac{x-5}{8-2(x-5)}=\frac{x-5}{18-2x}.$

   になる。この形でも $x\ne 9$ は見える（$x=9$ で $18-2x=0$ になる）が、$x\ne 5$ という制約は完全に失われている。先に簡約して簡約後の式から定義域を読むのが、この手の問題を間違える定番の道である。

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   定義域を区間で書く。 実数直線から 2 つの孤立点を取り除くと、3 つの開区間が残る：

   $(-\infty,5)\cup(5,9)\cup(9,\infty).$