数列が n ≥ 2 のすべての整数で a(n) = 4a(n-1) - 4a(n-2) を満たし、a(0) = -2025、a(1) = 2026 である。a(2025) = b × 2^c（b, c は定数）と表せるとき、b/c を求めよ。

Step-by-step solution

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   特性方程式を書く。 定数係数の線形漸化式では、$a_n=r^n$ と推測すると関係式が代数方程式になる。$a_n-4a_{n-1}+4a_{n-2}=0$ に代入して $r^{n-2}$ で割ると：

   $r^2-4r+4=0\;\Longrightarrow\;(r-2)^2=0\;\Longrightarrow\;r=2\ \text{（重解）}$

2. 2

   重解のときの一般解の形を使う。 重解では等比的な解が $2^n$ の 1 つしか出ないので、2 つ目の独立な解は $n$ の因子を伴う：

   $a_n=(A+Bn)\,2^{n}$

   ここが最も間違えやすい。$A\cdot 2^n+B\cdot 2^n$ と書いてしまうと定数 1 つにまとまってしまい、独立な 2 つの初期条件に合わせられない。

3. 3

   2 つの初期条件を当てはめる。 $n=0$ から：

   $a_0=(A+0)\cdot 2^0=A=-2025$

   $n=1$ から：

   $a_1=(A+B)\cdot 2=2026\;\Longrightarrow\;A+B=1013\;\Longrightarrow\;B=1013+2025=3038$

   よって $a_n=(3038n-2025)\,2^{n}$ である。手早い確認：$a_2=(6076-2025)\cdot4=16204$ で、直接計算しても $4a_1-4a_0=4(2026)-4(-2025)=16204$ となり一致する。

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   $n=2025$ で値を求め、係数を因数分解する。

   $a_{2025}=(3038\cdot 2025-2025)\,2^{2025}=2025\,(3038-1)\,2^{2025}=2025\cdot 3037\cdot 2^{2025}$

   掛け算をする前に共通因数 $2025$ をくくり出すことが、最後の段階をきれいにする。先に展開すると $6{,}149{,}925$ になり、そのあとまた $2025$ で割り戻さなければならない。

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   $b$ と $c$ を読み取って割る。 $a_{2025}=b\cdot 2^{c}$ と比べると $b=2025\cdot3037=6{,}149{,}925$、$c=2025$ なので

   $\frac{b}{c}=\frac{2025\cdot 3037}{2025}=3037$

   $2025$ がちょうど約分される。これがこの問題の作り方の要点で、答えは $B-1=3037$ である。