5 を底とする (x − 3 × x の平方根 + 32) の対数が、5 を底とする (x の平方根 + 2) の対数の 2 倍より小さいという不等式を解き、最小の正の整数解を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域を確定する。 根号から $x\ge0$ が必要になる。$t=\sqrt{x}\ge0$ とおくと 1 つ目の真数は $t^2-3t+32$ で、その判別式は $9-128=-119<0$、最高次の係数は正なので常に正である。2 つ目の真数も $\sqrt{x}+2\ge2>0$ である。よって定義域は単に $x\ge0$ であり、あとで解の候補が失われることはない。

2. 2

   係数の 2 を対数の中に入れる。 $k\log_b u=\log_b u^k$ を使って：

   $2\log_5(\sqrt{x}+2)=\log_5\left((\sqrt{x}+2)^2\right)$

   これで両辺が同じ底の 1 つの対数になった。真数を直接比べられるのはこの形だけである。

3. 3

   対数を外す。 底が $5>1$ なので $\log_5$ は増加関数であり、対数どうしの不等式は真数どうしの同じ向きの不等式と同値である（向きは保たれる。底が $1$ より小さければ反転する）：

   $x-3\sqrt{x}+32 < (\sqrt{x}+2)^2$

4. 4

   展開して消す。 右辺は $x+4\sqrt{x}+4$ で、両辺の $x$ が消える：

   $-3\sqrt{x}+32 < 4\sqrt{x}+4 \quad\Longrightarrow\quad 28 < 7\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}>4$

5. 5

   安全に 2 乗する。 両辺は非負なので、2 乗しても不等式は保たれる：

   $x>16$

6. 6

   最小の整数を読み取る。 $16$ より真に大きい最小の整数は $x=17$ で、これは定義域 $x\ge0$ の中にある。確認すると $17-3\sqrt{17}+32\approx36.63$、$(\sqrt{17}+2)^2\approx37.25$ なので $x=17$ では不等式が成り立ち、$x=16$ では成り立たない（両辺とも $36$ になる）。