方程式 x^2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   絶対値の中身の符号が変わる点を見つける。 $|x-3|$ は $x=3$ の左右で振る舞いが変わるので、実数直線は $x\ge 3$ と $x<3$ の 2 つの場合に分かれる。それぞれの場合では絶対値をふつうの一次式に置き換えられるので、1 つの難しい方程式が 2 つのふつうの二次方程式になる。

2. 2

   場合 1：$x\ge 3$ のとき $|x-3|=x-3$。 代入して項をまとめると：

   $x^2+4(x-3)-7x+11=x^2+4x-12-7x+11=x^2-3x-1=0$

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

3. 3

   場合 1 の解のうち、実際に $x\ge 3$ を満たすものだけを残す。 数値では $\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx 3.303\ \ge 3$（採用）、一方 $\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx-0.303<3$（棄却）である。棄却した値は書き換えた方程式は満たすが、もとの方程式は満たさない。その側では $|x-3|$ が $x-3$ ではないからである。

4. 4

   場合 2：$x<3$ のとき $|x-3|=3-x$。

   $x^2+4(3-x)-7x+11=x^2-4x+12-7x+11=x^2-11x+23=0$

   $x=\frac{11\pm\sqrt{121-92}}{2}=\frac{11\pm\sqrt{29}}{2}$

   ここでは $\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx 2.807<3$（採用）、$\frac{11+\sqrt{29}}{2}\approx 8.193\ \ge 3$（棄却）である。

5. 5

   残った 2 つをもとの方程式で検算する。 $x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.30278$ のとき：$x^2\approx10.9083$、$4|x-3|\approx1.2111$、$-7x\approx-23.1194$ なので合計は $10.9083+1.2111-23.1194+11\approx 0$ となる。$x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.80742$ のとき：$x^2\approx7.8816$、$4|x-3|\approx0.7703$、$-7x\approx-19.6519$ で合計も $\approx 0$。どちらも成り立つ。

6. 6

   2 つの解を答える。 この方程式の解はちょうど 2 つで、

   $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.807\qquad\text{と}\qquad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.303$

   である。境目 $x=3$ の両側に 1 つずつ解がある。場合分けはそれぞれの場合から解を出しうる（そして実際よく出す）ことを思い出させてくれる。