3 を底とする 2x^2 + 13x + 23 の対数を、3 を底とする x + 5 の対数で割った値が 1 となる方程式を解き、その解の和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分母には 2 つの条件が隠れているので、まず定義域を書き出す。 対数の真数はどちらも正でなければならず、分母は $0$ であってはならない：

   $x+5>0,\qquad \log_3(x+5)\neq 0\ \Rightarrow\ x+5\neq 1,\qquad 2x^2+13x+23>0.$

   はじめの 2 つから $x>-5$ かつ $x\neq -4$ が得られる。

2. 2

   2 次の真数は別に確認する —— 実は無条件で満たされる。 その判別式は

   $D=13^2-4\cdot 2\cdot 23=169-184=-15<0,$

   であり最高次の係数は正なので、$2x^2+13x+23>0$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。この条件は何も加えず、定義域は単に $x>-5$、$x\neq-4$ である。

3. 3

   対数の商を底の変換とみなす。 $\dfrac{\log_3 A}{\log_3 B}=\log_B A$ なので、この方程式は

   $\log_{x+5}\left(2x^2+13x+23\right)=1.$

   と言っている。対数が $1$ になるのは真数が底に等しいときちょうどであり、だから 2 回指数をとらずに対数をまるごと外せる。

4. 4

   残った二次方程式を解く。 真数を底に等しいとおくと：

   $2x^2+13x+23=x+5\ \Longrightarrow\ 2x^2+12x+18=0\ \Longrightarrow\ x^2+6x+9=0\ \Longrightarrow\ (x+3)^2=0,$

   よって $x=-3$ はこの二次方程式の重解である。

5. 5

   候補を確かめ、解を足し合わせる。 $x=-3$ は $x>-5$ と $x\neq-4$ を満たし、代入すると $\log_3 2/\log_3 2=1$ となるので本物の解である。二次方程式では $x=-3$ が 2 重解だったが、もとの方程式の解はちょうど 1 つなので、解の和は

   $-3.$