連鎖不等式 (x + 1)(x + 2) >= (x + 3)(x + 4) >= (x + 5)(x + 6) を解き、解集合を区間で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   連鎖を 2 つの不等式に分ける。 $A\ge B\ge C$ という形は、同時に成り立つべき 2 つの条件の省略記法である：

   $\text{(I)}\quad (x+1)(x+2)\ge(x+3)(x+4),\qquad \text{(II)}\quad (x+3)(x+4)\ge(x+5)(x+6)$

   最終的な答えは 2 つの解集合の共通部分であって、和集合ではない。両端の $(x+1)(x+2)$ と $(x+5)(x+6)$ をいきなり比べたくなるが、それは弱い条件でしかなく、広すぎる誤った解集合を与えてしまう。

2. 2

   (I) の両辺を展開し、二次の項が消えるのを見る。 展開すると

   $x^2+3x+2\ \ge\ x^2+7x+12$

   両辺の最高次の項がまったく同じ $x^2$ なので、両辺から $x^2$ を引くことが許され、一次の不等式が残る：

   $3x+2\ \ge\ 7x+12$

   この相殺こそがこの問題の要点である。連続してずらした積はどれも最高次の係数が $1$ なので、符号表も放物線の考察も要らない。

3. 3

   一次不等式 (I) を解く。 $x$ を一方の辺に集める：

   $3x+2\ge 7x+12\ \Longrightarrow\ -10\ge 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}$

   正の数 $4$ で割っても不等号の向きは変わらない。向きが変わるのは負の数で割ったり掛けたりするときだけである。$-\tfrac52\ge x$ を右から左に読めば $x\le-\tfrac52$ となる。

4. 4

   (II) にも同じことをする。 展開すると

   $x^2+7x+12\ \ge\ x^2+11x+30\ \Longrightarrow\ 7x+12\ \ge\ 11x+30$

   $-18\ \ge\ 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{18}{4}=-\frac{9}{2}$

5. 5

   2 つの条件の共通部分をとる。 $x\le-\tfrac52$ かつ $x\le-\tfrac92$ が同時に必要である。$-\tfrac92=-4.5$ は $-\tfrac52=-2.5$ より左にあるので、後者の条件のほうが厳しく、これが自動的に前者を導く：

   $x\le-\frac{9}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left(-\infty,\,-\frac{9}{2}\right]$

6. 6

   内側と外側の値で 1 つずつ検算する。 $x=-5$ のとき：$(-4)(-3)=12$、$(-2)(-1)=2$、$(0)(1)=0$ で、$12\ge2\ge0$ は成り立つ。✓ $x=-4$ のとき（(I) は満たすが (II) は満たさない）：$(-3)(-2)=6$、$(-1)(0)=0$、$(1)(2)=2$ で、$0\ge2$ は偽。✗ これで、和集合ではなく共通部分をとったのが正しかったこと、そして両方の不等式が等号を許すので端点 $x=-\tfrac92$ が含まれることが確かめられる。