方程式 (x + 4)² + 17(x + 4) + 72 = 0 の実数解を求めよ。

Step-by-step solution

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   展開後の次数ではなく、繰り返し現れる塊に注目する。 式 $x+4$ が 2 乗と 1 乗で現れ、それ以外に $x$ を含む部分はない。これが置き換えで二次になる方程式の目印である。展開して $x^2 + 25x + 156 = 0$ としても解けるが、因数分解を簡単にしてくれる構造を捨ててしまう。

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   $u = x + 4$ と置く。 繰り返しの塊を置き換えると、方程式はふつうの二次方程式になる：

   $u^2 + 17u + 72 = 0$

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   $u$ についての二次式を因数分解する。 積が $72$、和が $17$ になる 2 数を探す。$8 \cdot 9 = 72$ かつ $8 + 9 = 17$ なので：

   $(u+8)(u+9) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = -8 \ \text{ または } \ u = -9$

   判別式は $17^2 - 4(72) = 1 > 0$ で、異なる 2 つの実数解をもつことが確かめられる。

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   置き換えを戻す —— ここが最も飛ばされやすい段階である。 問われているのは $u$ ではなく $x$ なので、$u = x+4$ を戻す：

   $x + 4 = -8 \ \Rightarrow \ x = -12, \qquad x + 4 = -9 \ \Rightarrow \ x = -13$

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   両方の値をもとの方程式で確かめる。 $x=-12$ のとき：$(-8)^2 + 17(-8) + 72 = 64 - 136 + 72 = 0$。$x=-13$ のとき：$(-9)^2 + 17(-9) + 72 = 81 - 153 + 72 = 0$。この置き換えは単なる平行移動（両辺を 2 乗したり根をとったりしない）なので、無縁解が現れることはない。