a, b を正の実数とし、m = a^3 + b^3、n = a^2b + ab^2 とする。m と n の大小を比較せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   割るのではなく引いて比べる。 2 つの式を比べるときの確実な手は $m-n$ の符号を調べることである。$m-n>0$ なら $m>n$、$m-n=0$ なら等しく、$m-n<0$ なら $m<n$ である。ここでは $a,b>0$ なので割り算でもよいが、引き算のほうが全体が多項式のままで因数分解しやすい。

2. 2

   差をつくり、2 項ずつ組にする。

   $m-n=a^3+b^3-a^2b-ab^2$

   三乗の項を、同じ文字を共有する混合項と組にする：

   $m-n=(a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

3. 3

   共通因子 $(a-b)$ をくくり出す。 $b-a=-(a-b)$ なので

   $m-n=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a-b)(a^2-b^2)$

   さらに $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ だから

   $\boxed{m-n=(a+b)(a-b)^2}$

   この因数分解された形が解答の核心である。大小比較が符号の観察に変わる。

4. 4

   符号を読み取る。 $a>0$ かつ $b>0$ より $a+b>0$、また任意の実数について $(a-b)^2\ge 0$ である。正の数と非負の数の積は非負なので

   $m-n\ge 0\qquad\Longrightarrow\qquad m\ge n$

5. 5

   等号成立の条件を突き止める。 積 $(a+b)(a-b)^2$ が $0$ になるのは、どちらかの因子が $0$ のときだけである。$a+b>0$ なので、等号は $(a-b)^2=0$、すなわち $a=b$ を強いる。したがって

   $a\neq b\ \text{のとき}\ a^3+b^3>a^2b+ab^2,\qquad a=b\ \text{のとき}\ a^3+b^3=a^2b+ab^2$

6. 6

   数値で確かめる。 $a=3,b=1$ とすると $m=27+1=28$、$n=9+3=12$ で、実際 $(a+b)(a-b)^2=4\cdot 4=16=28-12$ となる。$a=b=2$ なら $m=16$、$n=16$ で予想どおり等しい。同じ恒等式から、正の $a,b$ に対して $a^3+b^3\ge ab(a+b)$ という並べ替え不等式でおなじみの事実も示せる。