不等式 (x − 1)(x + 2)(x − 3) < 0 を解き、解集合を区間で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   積を展開してはいけない。 不等式はすでに因数分解された形で、それこそが欲しい形である。展開すると $x^3-2x^2-5x+6$ になるが、これでは符号について何も分からない。積の符号は、負の因子がいくつあるかで決まるので、因数分解の形を保ったまま因子を 1 つずつ調べる。

2. 2

   各因子の零点を求める。 それぞれの因子を $0$ とおくと

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   積の符号が変わりうるのはこの 3 点だけである。連続関数が負から正に移るには、必ず $0$ を通らなければならないからである。

3. 3

   数直線を $-2$、$1$、$3$ で分ける。 3 つの零点は実数直線を 4 つの開区間に切り分ける：

   $(-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,3),\quad (3,+\infty)$

   各区間の内部では積の符号が一定なので、テスト点 1 つで区間全体が決まる。

4. 4

   各区間でテスト点を 1 つ試す。 数値そのものではなく、各因子の符号を記録する：

   区間	テスト $x$	$x+2$	$x-1$	$x-3$	積
   $(-\infty,-2)$	$-3$	$-$	$-$	$-$	$-$
   $(-2,1)$	$0$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$	$2$	$+$	$+$	$-$	$-$
   $(3,+\infty)$	$4$	$+$	$+$	$+$	$+$

   負が 3 つなら積は負、負が 2 つなら積は正。規則はこれだけである。

5. 5

   符号が交互になることに注目する。 各因子が 1 乗で現れる（すべて単純な零点）ので、零点ごとに符号が反転する。すべての因子が正である右端から左へ進むと、符号は $+,-,+,-$ と並ぶ。右端の区間の符号さえ分かれば、あとは何も代入せずに埋められる。上の表はその確認にすぎない。

6. 6

   積が負になる区間を集め、端点を除く。 積が負になるのは $(-\infty,-2)$ と $(1,3)$ である。不等号は等号を含まないので、積が $0$ になる（$0$ 未満ではない）$x=-2$、$x=1$、$x=3$ は除外する：

   $\boxed{(-\infty,-2)\cup(1,3)}$

   検算：$x=-3$ では $(-4)(-1)(-6)=-24<0$、$x=2$ では $(1)(4)(-1)=-4<0$、一方 $x=0$ では $(-1)(2)(-3)=6>0$ となり、予想どおりである。