あるレシピでは 1 日目にソースを 105 ミリリットル、2 日目に 85 ミリリットル使う。3 日目以降は、その日に使う量が前の 2 日に使った量の平均になる。19 日目に使う量の整数部分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   項ではなく差を扱う。 漸化式から $a_{n-1}$ を引くと

   $a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}-a_{n-1}=-\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{2}$

   が得られる。つまり各差はちょうど前の差の $-\tfrac12$ 倍である。2 項間の漸化式を 1 項間の等比的な関係に変えることが、全部書き並べずに第 $19$ 項へ届く鍵である。

2. 2

   差を明示的に書く。 最初の差は $a_2-a_1=-20$ なので

   $a_{n}-a_{n-1}=-20\left(-\frac12\right)^{n-2}$

   符号が交代するために、項は一方向へ進むのではなくジグザグする（$105,\ 85,\ 95,\ 90,\ 92.5,\dots$）。

3. 3

   等比級数を足して極限を求める。 $a_1$ から先の差をすべて足すと：

   $L=105+\sum_{k=0}^{\infty}(-20)\left(-\frac12\right)^{k}=105-\frac{20}{1+\frac12}=105-\frac{40}{3}=\frac{275}{3}$

   同じことだが $L=\dfrac{a_1+2a_2}{3}$ である。新しい項を 2 回数えた重み付き平均になる。漸化式で $a_{n-1}+2a_n$ が不変に保たれるからである。$2a_2-a_1$ ではない。

4. 4

   閉じた式を作る。 $L$ からのずれは 1 歩ごとに $-\tfrac12$ 倍になるので、

   $a_n=L+(a_1-L)\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\left(-\frac12\right)^{n-1}$

   $n=2$ で確認：$\tfrac{275}{3}-\tfrac{20}{3}=85$。正しい。

5. 5

   $n=19$ で計算する。 指数 $18$ は偶数なので補正項は正になる：

   $a_{19}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\cdot\frac{1}{2^{18}}=\frac{3003735}{32768}\approx 91.66672$

6. 6

   整数部分を取る。 $91<a_{19}<92$ なので整数部分は $91$ である。漸化式を分数のまま直接反復しても $a_{19}=\tfrac{3003735}{32768}$ が再現され、閉じた式が確かめられる。