方程式 x^2 - (2k - 1)x + 1 = 0 が (0, 1) に 1 つの解、(2, 3) にもう 1 つの解をもつような定数 k の値の範囲をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   解の配置を判別式ではなく符号条件に翻訳する。 $f(x)=x^2-(2k-1)x+1$ とおく。放物線は下に凸なので、2 つの解の間でちょうど負になる。1 つの解が $(0,1)$ の内部、もう 1 つが $(2,3)$ の内部にあることは、次の 4 つの符号条件と同じである：

   $f(0)>0,\qquad f(1)<0,\qquad f(2)<0,\qquad f(3)>0.$

   符号が変わるたびに、連続する 2 つの検査点の間に解が 1 つ確定する。$+,-,-,+$ というパターンの 4 点は $(0,1)$ と $(2,3)$ にちょうど 1 つずつ解を閉じ込める。判別式の条件は自動的に満たされる。符号が変われば実数解の存在はすでに保証されているからである。

2. 2

   4 つの検査点で $f$ の値を求める。

   $f(0)=1$

   $f(1)=1-(2k-1)+1=3-2k$

   $f(2)=4-2(2k-1)+1=7-4k$

   $f(3)=9-3(2k-1)+1=13-6k$

3. 3

   条件を 1 つずつ課す。

   $f(0)=1>0\quad\text{—— これは常に成り立つので条件にならない}$

   $f(1)=3-2k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac32$

   $f(2)=7-4k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac74$

   $f(3)=13-6k>0\;\Longrightarrow\;k<\frac{13}{6}$

4. 4

   条件の共通部分をとる。 $\tfrac74>\tfrac32$ なので、$f(1)$ からの条件は $f(2)$ からの条件に吸収され、残るのは

   $\frac74<k<\frac{13}{6}.$

5. 5

   解の積を使った別の議論で確かめる。 解と係数の関係より解の積は $1$ なので、2 つの解は互いに逆数である：$r$ と $1/r$。もし $r\in(2,3)$ なら自動的に $1/r\in\left(\tfrac13,\tfrac12\right)\subset(0,1)$ となる。小さいほうの解についての条件は追加の情報を持たず、代数計算が示したとおりである。和からは

   $r+\frac1r=2k-1\;\Longrightarrow\;k=\frac12\left(r+\frac1r+1\right),$

   が得られ、$r+\tfrac1r$ は $r>1$ で増加するので、$r$ が $(2,3)$ を動くとき $k$ は $\left(\tfrac12\left(\tfrac52+1\right),\tfrac12\left(\tfrac{10}{3}+1\right)\right)=\left(\tfrac74,\tfrac{13}{6}\right)$ を動く —— 同じ区間である。

6. 6

   内側の値と、ぎりぎり外側の値で検算する。 $k=2$ のとき：$x^2-3x+1=0$ の解は $0.382$ と $2.618$ で、条件どおり各区間に 1 つずつある。$k=2.2$（$13/6\approx2.1667$ のすぐ上）のとき：解は $0.325$ と $3.075$ で、大きいほうの解が $3$ を越えて逃げており、上端が正しいことが確かめられる。