関数 f が f(x) = ax^2 + bx + c（a, b, c は定数）で定義され、f(x) = 0 の解が x = 1 と x = -7 であるとする。a が 1 より大きい整数のとき、このような f のすべてについて a + b ≥ n が成り立つ。n の最大値を求めよ。

Step-by-step solution

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   2 つの解を因数分解形に変える。 二次式は 2 つの解と 1 つの定数倍で決まる。$f(1)=0$ かつ $f(-7)=0$ なので、$(x-1)$ と $(x+7)$ はどちらも $f$ を割り切り、

   $f(x)=a(x-1)(x+7)$

   と書ける。ここでの $a$ は $ax^{2}+bx+c$ の最高次の係数と同じものである。積 $(x-1)(x+7)$ の最高次の係数が $1$ だからである。

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   展開して $b$ を $a$ で表す。

   $f(x)=a\left(x^{2}+6x-7\right)=ax^{2}+6ax-7a,$

   係数を比べると $b=6a$、$c=-7a$ が得られる。これで未知数は $a$ ひとつだけになる。

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   評価したい量を表す。

   $a+b=a+6a=7a.$

   つまり「$a+b\ge n$ が常に成り立つとき $n$ はどこまで大きくできるか」という問いは、実は「$7a$ はどこまで小さくなれるか」という問いである。

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   許される $a$ の範囲で最小化する。 条件は $a$ が1 より大きい整数であることなので、取りうる値は $a=2,3,4,\dots$ で、最小は $a=2$ である。（$a\ne 0$ はここでは自動的に満たされる。二次関数は最高次の係数が $0$ でないことを要求するからである。）よって $a+b$ の最小値は

   $7(2)=14.$

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   最小値を答えに変換する。 不等式 $a+b\ge n$ は許されるすべての $f$ について成り立たなければならないので、$n$ は $a+b$ が取りうる最小値以下でなければならない。その最小値 $14$ は実際に達成される（$a=2$、すなわち $f(x)=2x^{2}+12x-14$）ので、$n=14$ は成立し、それより大きい値は成立しない：

   $n_{\max}=14.$