方程式 (2x + 2)^(1/3) = −4 の実数解を求めよ。

Step-by-step solution

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   指数を三乗根として読む。 定義より $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$ なので、この方程式は「$2x+2$ の三乗根が $-4$ に等しい」と言っている。右辺が負でも問題はない。負の数も含め、どの実数にもちょうど 1 つの実数の三乗根があるからである。

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   両辺を 3 乗して根を外す。 両辺を 3 乗するのは三乗根をとる操作の逆である：

   $\left((2x+2)^{1/3}\right)^3 = (-4)^3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2 = -64$

   $(-4)^3 = -64$ と符号がそのまま残る点に注意。2 乗なら符号は失われてしまう。

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   残った一次方程式を解く。

   $2x = -64 - 2 = -66 \quad\Longrightarrow\quad x = -33$

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   元の方程式に代入して検算する。 $x = -33$ を代入すると $2(-33) + 2 = -64$ となり、$(-64)^{1/3} = -4$ で右辺とぴたりと一致する。

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   なぜ無縁解の確認が要らないのか。 3 乗は実数上で 1 対 1 の操作なので、解を増やすことも失うこともない。ここが平方根の方程式との決定的な違いで、そちらは両辺を 2 乗すると存在しない解が生まれ、あとで捨てなければならない。ここでは $x = -33$ が唯一の実数解である。