x に 1/3 を底とする (1/2 − x) の対数を掛けた値が、x の絶対値以上となるような x をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不等式に手を付ける前に定義域を確定する。 対数の真数は正でなければならない：

   $\frac12-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac12$

   以下の議論はすべて $\left(-\infty,\tfrac12\right)$ の中で行い、その外の候補は自動的に捨てる。

2. 2

   $|x|$ も不等号の向きも $x$ の符号に依存するので、$x$ の符号で場合分けする。 $L=\log_{1/3}\!\left(\tfrac12-x\right)$ とおく。不等式は $xL\ge|x|$ である。$x$ で割るのが自然な手だが、$x$ の符号は $|x|$ が何になるかと同時に不等号が反転するかどうかも決めるので、$x>0$、$x=0$、$x<0$ の 3 つの場合を別々に扱わなければならない。

3. 3

   場合 $x>0$。 ここでは $|x|=x$ であり、正の数 $x$ で割っても向きは変わらない：

   $L\ge 1$

   底 $\tfrac13$ は $1$ より小さいので $\log_{1/3}$ は減少関数である。よって $\log_{1/3}t\ge 1$ は $0<t\le\left(\tfrac13\right)^{1}=\tfrac13$ に反転する。したがって

   $0<\frac12-x\le\frac13\quad\Longleftrightarrow\quad \frac16\le x<\frac12$

   $x>0$ と合わせると $\left[\tfrac16,\tfrac12\right)$ となる。

4. 4

   場合 $x<0$。 いま $|x|=-x$ であり、$xL\ge-x$ を負の数 $x$ で割ると不等号が反転する：

   $L\le -1$

   ふたたび $\log_{1/3}$ が減少関数であることを使うと、$\log_{1/3}t\le-1$ は $t\ge\left(\tfrac13\right)^{-1}=3$ になる：

   $\frac12-x\ge3\quad\Longleftrightarrow\quad x\le-\frac52$

   このような $x$ はすべて負で定義域の中にあるので、半直線 $\left(-\infty,-\tfrac52\right]$ 全体が解になる。

5. 5

   場合 $x=0$ —— 飛ばしてはいけない。 そのまま代入すると $0\cdot L=0$、$|0|=0$ なので、不等式は $0\ge0$ となり成り立つ。孤立点 $x=0$ はどちらの区間にも属さないが正真正銘の解であり、$x$ で不用意に割ると失われるのがまさにこの点である。

6. 6

   まとめて端点を検算する。 解集合は

   $x\in\left(-\infty,-\frac52\right]\cup\{0\}\cup\left[\frac16,\frac12\right)$

   2 つの境界の点を確かめる。$x=-\tfrac52$ では $\tfrac12-x=3$、$\log_{1/3}3=-1$ なので左辺は $(-\tfrac52)(-1)=\tfrac52=|x|$ となり等号が成り立つ。$x=\tfrac16$ では $\tfrac12-x=\tfrac13$、$\log_{1/3}\tfrac13=1$ なので左辺は $\tfrac16=|x|$ で、ここでも等号が成り立つ。除外された領域の値、たとえば $x=-1$ では $(-1)\log_{1/3}\tfrac32\approx0.369$ となり $|x|=1$ より小さいので、正しく除かれている。