a²b + ab² と a² − ab + b² の積から ab⁴ を引いた式を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   展開する前に構造を探す。 そのまま展開すると 6 個の積が出て、失敗しやすい。2 つ目の括弧 $a^2-ab+b^2$ は3 乗の和の 2 つ目の因子そのものなので、方針は最初の括弧を「$a+b$ 掛ける何か」の形にすることである。

2. 2

   最初の括弧から $ab$ をくくり出す。 どちらの項も $ab$ を共有している：

   $a^2b+ab^2 = ab(a+b)$

   式は

   $ab(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab^4$

   になる。

3. 3

   3 乗の和の公式を使う。

   $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

   なので、3 つの括弧の積が 1 つの簡単な積になる：

   $ab(a^3+b^3)-ab^4$

4. 4

   $ab$ を分配する。

   $ab \cdot a^3 + ab \cdot b^3 - ab^4 = a^4b + ab^4 - ab^4$

5. 5

   打ち消し合う項を消す。 $ab^4$ と $-ab^4$ の和は $0$ なので、残るのは

   $a^4b$

   である。厄介な $b^4$ の部分が消えることが、3 乗の和を使う道が想定された解法だという合図である。

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   数値で検算する。 $a=2$、$b=3$ とすると、もとの式は $(12+18)(4-6+9)-2\cdot81=30\cdot7-162=210-162=48$、$a^4b=16\cdot3=48$ で一致する。