f(x) = x^2 − 5x + 2 について、差分商 (f(x + h) − f(x))/h（h は 0 でない）を求めて簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   最初の項だけでなく、式全体の $x$ に $x+h$ を代入する。 $f$ の中のすべての $x$ を置き換える。$-5x$ の中のものも忘れない：

   $f(x+h)=(x+h)^{2}-5(x+h)+2.$

   $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ と展開し、$-5$ を分配すると：

   $f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2.$

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   $f(x)$ を引くときは、マイナスをすべての項に付けたままにする。 符号ミスが最も起きやすいところなので、括弧を外す前に 2 つ目の括弧をそのまま書き出す：

   $f(x+h)-f(x)=\left(x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2\right)-\left(x^{2}-5x+2\right).$

   $=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2-x^{2}+5x-2.$

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   何が消えるのか、そしてなぜかを見る。 $h$ を含まない $f(x)$ の項はすべて消える：$x^{2}-x^{2}=0$、$-5x+5x=0$、$2-2=0$。これは常に起こり、分子が $h$ で割り切れることを保証している：

   $f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-5h.$

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   分子から $h$ をくくり出して約分する。 $h\neq 0$ が与えられているので、この約分は正当である：

   $\frac{2xh+h^{2}-5h}{h}=\frac{h(2x+h-5)}{h}=2x+h-5.$

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   結果の意味を考え、検算する。 答え $2x+h-5$ は、2 点 $(x,f(x))$ と $(x+h,f(x+h))$ を通る割線の傾きである。$h\to 0$ とすると $2x-5$ になり、これはちょうど $f'(x)$ に一致する。よい確認になる。$x=1.7$、$h=0.03$ で数値検算すると $\frac{f(1.73)-f(1.7)}{0.03}=-1.57$ で、$2(1.7)+0.03-5=-1.57$ と合う。