20% のアルコール溶液と 50% のアルコール溶液を何リットルずつ混ぜれば、35% のアルコール溶液が 20 リットルできるか。

Step-by-step solution

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   2 つの未知数に名前を付ける。 $20\%$ の溶液から取る量を $x$ リットル、$50\%$ の溶液から取る量を $y$ リットルとする。未知数が 2 つなら独立な式が 2 本必要である。1 本は全体の体積について、もう 1 本は純アルコールの量についてである。

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   式 1：全体の体積。 2 つの量を合わせると必要な $20$ リットルになる：

   $x+y=20.$

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   式 2：純アルコールは保存される。 これがあらゆる混合問題の核心である。混ぜたあとのアルコール量は、それぞれの材料が持ち込んだアルコール量の和に等しい。目標の溶液には $0.35\times 20=7$ リットルの純アルコールが含まれ、材料はそれぞれ $0.20x$ と $0.50y$ を持ち込む：

   $0.20x+0.50y=7.$

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   代入法で連立方程式を解く。 1 本目から $x=20-y$。これを 2 本目に代入すると：

   $0.20(20-y)+0.50y=7\ \Longrightarrow\ 4+0.30y=7\ \Longrightarrow\ 0.30y=3\ \Longrightarrow\ y=10.$

   よって $x=20-10=10$ である。

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   もとの問題文に照らして確かめる。 $20\%$ の溶液は $0.20\times 10=2$ L、$50\%$ の溶液は $0.50\times 10=5$ L のアルコールを供給し、合わせて $20$ L の混合液に $7$ L、すなわち $\frac{7}{20}=35\%$ となる。正しい。

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   中点の考えで感覚的にも確認する。 $35\%$ は $20\%$ と $50\%$ のちょうど真ん中なので、2 つの溶液を等量ずつ混ぜるのが答えになるはずだった。目標の濃度が中点でないときは、より近いほうの溶液に重みが寄る。代数を信用する前に符号ミスや計算ミスを見つけるのに役立つ見方である。