二次不等式 ax^2 + bx + 1 > 0 の解が -1 < x < 2 であるとき、ab の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   解集合の形から $a$ の符号を決める。 放物線が 2 つの解の間で正になるのは、上に凸のときだけである。ここでは解集合が有界な区間 $(-1,2)$、つまり 2 つの数の間だけで式が正なので

   $a<0,$

   であり、$x=-1$ と $x=2$ は $ax^{2}+bx+1=0$ の 2 つの解でなければならない（等号を含まない不等式がちょうど破れる端点である）。

2. 2

   解から二次式を組み立て直す。 $-1$ と $2$ を解にもつ二次式はすべて $(x+1)(x-2)$ の定数倍なので

   $ax^{2}+bx+1=k(x+1)(x-2)=k\left(x^{2}-x-2\right)=kx^{2}-kx-2k$

   と書ける。ここで $k<0$ である（$k$ の符号は $a$ の符号と同じ）。

3. 3

   定数項から $k$ を決める。 問題が解ける鍵になるのがこの段階である。与えられた二次式の定数項はちょうど $1$ であり、これが自由な定数倍を取り除く。定数項どうしを比べて

   $-2k=1\quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{2},$

   これは確かに $k<0$ を満たし、ステップ 1 と矛盾しない。

4. 4

   $a$ と $b$ を読み取る。 $k=-\tfrac12$ を代入すると：

   $ax^{2}+bx+1=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+1\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{2},\ \ b=\frac{1}{2}.$

5. 5

   $ab$ を計算し、もとの不等式で確かめる。

   $ab=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}.$

   確認：$-\tfrac12x^{2}+\tfrac12x+1>0$ は（$-2$ を掛けて不等号を逆にすると）$x^{2}-x-2<0$、すなわち $(x+1)(x-2)<0$ と同値で、その解はちょうど $-1<x<2$ である。値を入れても裏づけが取れる：$x=0$ では式の値は $1>0$、両端点（$x=\pm$ の 2 点）では $0$、$x=3$ では $-2<0$ となる。