多項式 f(x) を 2x^2 - 3x + 4 で割ると余りが 2x + 1 になる。[f(x)]^3 を 2x^2 - 3x + 4 で割った余りを求めよ。

Step-by-step solution

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   割り算の事実を 3 乗できる式に直す。 「余り $2x+1$」とは、ある商の多項式 $Q(x)$ があって

   $f(x)=Q(x)\,(2x^2-3x+4)+(2x+1)$

   が成り立つという意味である。与えられた情報はこれだけなので、すべての手順はここから流れ出る。以下では $D(x)=2x^2-3x+4$ と略記する。

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   両辺を 3 乗し、$D(x)$ で割り切れる部分をすべて捨てる。 $\big(QD+(2x+1)\big)^3$ を二項定理で展開すると

   $Q^3D^3+3Q^2D^2(2x+1)+3QD(2x+1)^2+(2x+1)^3$

   となる。はじめの 3 項はどれも因子 $D(x)$ を含むので、余りには寄与しない。これが要点である：$f^3$ の余りは $(2x+1)^3$ の余りに等しい。 $f$ や $Q$ を知る必要はまったくない。

3. 3

   3 乗を展開する。

   $(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1$

   割る式は 2 次なので、探している余りは高々 1 次、つまり $Ax+B$ の形になる。

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   割る式そのものを使って $x$ の次数を下げる。 筆算をする代わりに、商環の中で $2x^2-3x+4=0$ という関係を使い、

   $x^2=\frac{3x-4}{2}$

   を書き換え規則として扱う。すると

   $x^3=x\cdot x^2=\frac{3x^2-4x}{2}=\frac{3\cdot\frac{3x-4}{2}-4x}{2}=\frac{\frac{9x-12-8x}{2}}{2}=\frac{x-12}{4}$

   この代入の技は 3 次式を 2 次式で割るよりずっと速く、$x$ の任意の冪に一般化できる。

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   代入して同類項をまとめる。

   $8x^3=8\cdot\frac{x-12}{4}=2x-24,\qquad 12x^2=12\cdot\frac{3x-4}{2}=18x-24$

   なので

   $(2x+1)^3\equiv(2x-24)+(18x-24)+6x+1=26x-47$

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   実際に筆算して確かめる。 $8x^3+12x^2+6x+1$ を $2x^2-3x+4$ で割ると商は $4x+12$ で、

   $(2x^2-3x+4)(4x+12)=8x^3+12x^2-20x+48$

   となる。主張した余りを足すと $8x^3+12x^2-20x+48+26x-47=8x^3+12x^2+6x+1$ で、これはちょうど 3 乗した式である。余りが確かめられた。