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Geometry questions asked by real students

Real geometry questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

∠C = 14°、二等分された半角 28° から ∠ADB を求める

∠ADB = 42°。二等分された半角を 2 倍して ∠A = 56°、内角の和から ∠B = 110°、そして三角形 ABD で 180° − 28° − 110° として閉じる。

正三角形で AN=BM を示し ∠AGM を求める

高さ CH は 2√3 cm、∠AGM は 60°。三角形 ABN と BCM が2辺夾角相等（SAS）で合同になることから AN=BM が言え、2本の線分の交点にできる角も決まる。

30-45-50 の三角形の角の二等分線：BD, CD, DE, DF を求める

二等分線の比 30:45 から BD = 20 cm、CD = 30 cm。2 本の平行線からはどちらも DE = DF = 18 cm となり、この一致こそ AFDE がひし形である証拠になる。

平行線の間のジグザグ：∠MPN = 360° − 110° − 140° = 110°

P を通り両方に平行な補助線を引く。同側内角から補助線の両側にそれぞれ 70° と 40° が現れるので、P におけるジグザグの角は 110° になる。

たこ形四角形：∠B=58°、∠D=136° から ∠A を求める

∠A = 83°。AB = BC かつ AD = CD なのでこの四角形はたこ形になり、残る2角は等しい。よって A = C = (360 − 58 − 136) ÷ 2 = 83° と決まる。

内角の比が 1 : 2 : 3 : 4 の四角形の角を求める

答えは 36°、72°、108°、144°。共通の値を x と置くと角は x, 2x, 3x, 4x となり、和が 360° であることから 10x = 360、すなわち x = 36 が得られる。

角が 10° ずつ増える四角形：75°, 85°, 95°, 105°

4 つの角を M で表し、内角の和 360° を使うと 4x + 60 = 360 が得られる。したがって x = 75 で、角は 10° ずつ階段状に増えていく。

垂線と角の二等分線が作る三角形 ADF の角（20°, 70°, 90°）

∠B = 36°、∠C = 76° なので ∠A = 68°、したがって ∠BAD = 34°、∠BAF = 54° となる。ここから ∠DAF = 20°、∠AFD = 90°、∠ADF = 70° が得られる。

3 つの角が等しければ、2 つの三角形は必ず合同か

この主張は誤り。角が等しければ形は同じになるが大きさは決まらないので、AAA からは相似しか言えない。3-4-5 と 6-8-10 の三角形が定番の反例である。

上底 4、下底 4 + 2r、脚 2r の台形の面積と周の長さ

周の長さは 8 + 6r、面積は √3·r(r + 4)。左右のはみ出しはそれぞれ r なので、脚 2r・水平 r・高さが 30-60-90 の直角三角形をなし、高さは r√3 になる。

13 m × 12 m の長方形の面積：たてとよこを掛ける

面積は 156 m²。2 辺の長さを掛ければよい。メートルで測った長さ 2 つを掛け合わせるので、単位は平方メートルになる。

14 × 12 の長方形の面積：たてとよこを掛ける

面積は 168 平方単位。14 と 12 を掛ければよい。一方、周の長さは 2(14 + 12) = 52 単位であり、別の量には別の公式が対応する。

4 m × 3 m の長方形の面積と、単位が平方になる理由

面積は 12 m²。この長方形は 1 辺 1 m の正方形が 4 × 3 に並んだ格子を覆っており、2 辺の長さを掛ける操作はまさにその個数を数えている。

50 cm × 70 cm の長方形の面積と単位換算

答えは 3500 cm²、すなわち 0.35 m²。面積は底辺 × 高さで、単位も一緒に掛け合わされるので、センチメートル × センチメートルは平方センチメートルになる。

半径 35 in の円の面積（π = 22/7）は 3850 in²

A = πr² に π = 22/7 を使い、35² = 1225 を 7 で約分して 22 × 175 = 3850 平方インチとする。厳密な値は 1225π = 3848.45 in²。

円周が 110 cm の円の面積（π = 22/7 として）

面積は 962.5 cm²。π = 22/7 として 2πr = 110 を解くと r = 17.5 がちょうど得られ、その半径を 2 乗しても計算は分数のまま崩れない。

半径 15 m・弧 37.6 m の扇形の面積

答えは 282 m²。2 本の直線の辺が半径 15 m、曲線の縁が 37.6 m なので、扇形の面積は A = rL/2 = 15 × 37.6 ÷ 2 で求まる。

辺の比が 3 : 5 のときの大きい方の正六角形の面積

大きい方の正六角形の面積は 225 m²。相似な図形の面積は辺の比の 2 乗で拡大するので、81 に 5/3 ではなく (5/3)² = 25/9 を掛ける。

周の長さ 12 cm の正方形 6 個で作る長方形の面積

長方形の面積は 54 cm²。周の長さ 12 cm を 4 で割って 1 辺 3 cm を得て、2 乗して 1 個あたり 9 cm²、それを 6 個分にすればよい。

26 × 9.174 の長方形の面積を電卓なしで求める

面積は 238.524 平方単位。9.174 を 9 + 0.174 に分ければ 234 + 4.524 となり、小数どうしを直接掛けるより速く、検算もしやすい。

たて 8、よこ 5 の長方形の面積

答えは 40 平方単位。長方形の面積はたて × よこなので A = 8 × 5 = 40 であり、この積は敷き詰められる単位正方形の個数そのものでもある。

半径 21 in と 17.5 in の間の円環の面積（π = 22/7）

円環の面積は 423.5 平方インチ。R² − r² を (R − r)(R + r) と因数分解すると、441 − 306.25 がずっと楽な積 3.5 × 38.5 に変わる。

底辺 8 cm・高さ 8 cm の三角形 4 枚で作る図形の面積

面積は 128 cm²。三角形 1 枚の面積は ½ × 8 × 8 = 32 cm² であり、重なりがないので並べ方は合計に影響しない。

等辺 13 cm・底辺 24 cm の二等辺三角形の面積は 60 cm²

底辺に下ろした垂線は底辺を二等分するので 5-12-13 の直角三角形が現れる。よって高さは 5 cm、面積は (1/2)(24)(5) = 60 cm² となる。

四角形の面積は4辺の長さだけで求まるか

4辺の長さだけでは四角形の面積は決まらない。その理由と、対角線や内角など、計算を最後まで進めるために追加で必要になる測定値を説明する。

辺の比 3 : 4 から小さい方の正多角形の面積を求める

小さい方の正多角形の面積は 180 m²。320 から縮小するときに使うのは比 3/4 そのものではなく、その 2 乗 (3/4)² = 9/16 である。

対角線が15と7、中位線が10の台形の面積

面積は 42。対角線を平行移動して 15、7、20 の三角形をつくりヘロンの公式を使うか、高さ 4.2 を直接求めて 10 倍すればよい。

三角形 APB の面積を PC = x の関数として表す

面積は y = 24 − 3x（0 < x < 8）。PB = 8 − x を底辺にとると、∠C が直角なので P がどこにあっても AC = 6 がそのまま高さになる。

相似比を 2 乗して相似な多角形の面積比を求める

面積比は 4:9。相似な多角形の面積は相似比の 2 乗で拡大するので、辺の比 2:3 は 2 の 2 乗 対 3 の 2 乗、すなわち 4:9 になる。

中心 (2,2) の円と x + y ≤ 4 の三角形が共有する面積

共通部分の面積はちょうど 2π、約 6.283。中心が斜辺の上にあり、円は 2 本の直角をはさむ辺に接しているので、重なりはちょうど円板の半分になる。

Au ∥ Bv と ∠vBz = 90° を証明する（平行な半直線と二等分線）

Bm が Ay に平行なので ∠xBm = ∠xAy となり、それぞれの二等分線は Ax と等しい同位角をなして平行になる。また補角の組 ∠xBm と ∠ABm の二等分線は 90° で交わる。

(x − 5)² + (y + 3)² = 9 の中心と半径：中心 (5, −3)、r = 3

(x−h)² + (y−k)² = r² と見比べる。y + 3 は y − (−3) なので中心の y 座標は −3 であり、半径は 9 そのものではなく 9 の平方根である。

半径 28 cm の円の円周（π = 22/7）は 176 cm

C = 2πr に π = 22/7 を使うと、分母の 7 が 28 をちょうど割り切って 2 × 22 × 4 = 176 cm になる。真の π を使えば 175.93 cm である。

A(−1,1)〜B(1,6) と C(5,0)〜D(4,2) の距離を比べる

AB は √29（約 5.39）、CD は √5（約 2.24）なので AB のほうが長い。座標の差は 2 乗されるため、引き算の順序は結果に影響しない。

円柱座標 (2, 30°, 5) を直交座標に直す

直交座標は (√3, 1, 5) ≈ (1.732, 1, 5)。30° の厳密値を使って x = r cos θ、y = r sin θ を適用し、高さ z はそのまま引き継ぐ。

3 分の 2 の点と中点の間の距離

答えは AB = 17。A は (1,10) から (−8,4) へ 3 分の 2 進んだ点で A(−5,6)、B は (0,−7) と (6,−11) の中点で B(3,−9)、よって AB = √(64+225)。

(1802, 139, −4524) と (1885, 132, −4592) の空間内の距離

距離は √11562 ≈ 107.53。座標の差は 83、−7、−68 で、11562 = 2·3·41·47 は平方因子を持たないので根号は簡単にできない。

空間内の (3, 1, 2) と (1, 4, −1) の距離を求める

距離は √22、約 4.6904。3 次元の公式は三平方の定理に 3 つ目の平方の差を足したもので、2 乗によって符号はすべて消える。

点 (1, 4) と直線 a(3, 1) の距離：√(10a² − 14a + 17) を最小化する

直線までの距離は 11/√10 ≈ 3.4785 で、a = 0.7 で達成される。媒介変数 a の点までの距離は √(10a² − 14a + 17) という放物線で、その頂点が最小を与える。

外積で求める点 (1, 4, −1) と直線 a(3, 1, 2) の距離

距離は √(227/14) ≈ 4.0267。点の位置ベクトルと方向ベクトル (3, 1, 2) の外積は (9, −5, −11) で、その長さを √14 で割れば距離になる。

中線 AD の中点 M について BM を λBA + μBC で表す：(1/2, 1/4)

組は (λ, μ) = (1/2, 1/4)。各点を位置ベクトルで置き、D = (B+C)/2、M = (A+D)/2 を使って B を引き、BA と BC の係数を比較すればよい。

角の二等分線：∠ALC = 98° から ∠C を求める

∠ACB = 44°。∠C = x と置き、内角の和から ∠A = 120 − x とし、AL が ∠A を二等分することを使って小さい三角形 ALC を解く。

2 本の角の二等分線と比 OA/OE = 3/2 から AC を求める：9 cm

答えは AC = 9 cm。二等分線の性質 AD/DC = AB/BC から BC = 14 が得られ、さらに BO が三角形 ABE の内部で角 B を二等分することから OA/OE = AB/BE が使える。

一直線上で PR = 3 1/3 m、PQ = 5 5/6 m のとき QR を求める：2 1/2 m

QR = 2 1/2 メートル。PQ のほうが長いので R は P と Q の間にあり、QR = PQ − PR = 35/6 − 20/6 となる。逆の順序では長さが負になり成り立たない。

中点と一方の端点からもう一方の端点を求める：S(5, 0)

もう一方の端点は S(5, 0)。中点の公式を逆に使って x2 = 2xM − x1 とすればよく、R から M への移動をもう一度繰り返すとちょうど S に着く。

数直線上で X = 5 から Y = 17 まで 3 分の 2 進んだ点は 13

線分の長さは 17 − 5 = 12、その 3 分の 2 は 8 であり、この 8 は X から測らなければならない。したがって 5 + 8 = 13 であって、17 − 8 ではない。

辺 4、7、11 の三角形は何個か——0 個、4 + 7 = 11 ちょうどだから

三角不等式は、短い 2 辺の和が最長辺より真に大きいことを要求する。ここでは 4 + 7 = 11 なので図形はつぶれてしまい、三角形は存在しない。

辺 4、8、11 の三角形は何個か

三角形はちょうど 1 つ存在する。3 辺の長さがすべて決まっているので SSS により三角形は一意であり、4 + 8 = 12 > 11 なので三角不等式も成り立つ。

直角をはさむ 2 辺が 3 と 4 の直角三角形の斜辺

斜辺は c = 5。2 辺を 2 乗すると 9 + 16 = 25 という平方数になる。3-4-5 が最も有名なピタゴラス数なのはそのためである。

直角をはさむ 2 辺が 6 と 5 の直角三角形の斜辺：厳密に √61

斜辺は c = √61 = 7.81。61 は素数なので平方因子を持たず、根号は簡単にできない。厳密な答えは根号のままである。

(x, y) → (−x, −y) は原点を中心とする 180° の回転

両方の座標の符号を変えると、各点は原点をはさんで同じ距離の反対側へ移る。これは半回転であり、片方の座標だけ符号を変える対称移動ではない。

五角形の外角比 1:2:3:4:5 から内角を求める

外角は 24°、48°、72°、96°、120° なので内角は 156°、132°、108°、84°、60° となり、比は 13:11:9:7:5、和は 540° になる。

円 (x − 0.5334)² + (y − 0.5334)² = 0.3475² と直線 y = x/√3 の交点

交点は 2 つで (0.8800, 0.5081) と (0.3821, 0.2206)。直線を円に代入すると 2 次方程式になり、判別式が 0.44074 と正なので交点は 2 個である。

二等辺三角形の2本の垂線で BK = CH と KH ∥ BC を示す

二等辺三角形の2本の垂線は等しい線分を切り取る。BK = CH は直角三角形の合同から従い、KH ∥ BC はタレスの定理の逆から従う。

二等辺三角形で AD が底辺 BC に垂直なことの証明

AB = AC で D が BC の中点なら AD ⊥ BC。3辺相等（SSS）の合同と一直線をなす角の組で示し、座標を使った別証明でも確かめる。

台形（上底5・下底11・高さ6）に内接する最大の長方形

最大面積は 121/4 = 30.25 で、高さ 5.5・幅 5.5 の長方形で実現する。高さ x における台形の幅が 11 − x なので、面積は x(11 − x) になる。

(−1,1)〜(4,6) の長さ AB と (4,1)、(16,−1) の中点

AB は 5√2、およそ 7.07 で、中点は (10, 0)。距離は座標の差を 2 乗するが、中点は平均を取るので符号の扱いが効いてくる。

A(2, 5) と B(5, 0) の中点を求める

中点は (3.5, 2.5)。x 座標どうし、y 座標どうしを別々に平均する。引き算をしてしまうのがよくある誤答の原因である。

(1802, 139, −4524) と (1885, 132, −4592) の 3 次元の中点

中点は (1843.5, 135.5, −4558)。3 組の座標を別々に平均する。3 つのうち 2 つが 0.5 になるのは、和が奇数なので当然である。

ベクトル射影で求める直線 a(3, 1) 上の (1, 4) に最も近い点

最近点は (21/10, 7/10) = (2.1, 0.7) で、(1, 4) の (3, 1) への正射影である。残差 (−1.1, 3.3) は方向ベクトルと直交する。

円に内接する四角形：∠ABC = 136° なら ∠ADC = 44°

円に内接する四角形の向かい合う角は補角なので、∠ADC = 180 − 136 = 44 度となる。

対角線 14 cm の合同な正方形 2 枚の重なり

重なりの正方形の 1 辺は 6 cm。1 枚の面積は d²/2 = 98、2 枚で 196 となり、覆われた面積 160 を引くと重なりは 36 平方 cm である。

対角線 20 cm の合同な正方形 2 枚の重なり

重なりの正方形の 1 辺は 4 cm。1 枚の面積は 200 平方 cm、2 枚で 400 となり、覆われた面積 384 を引くと重なりはわずか 16 平方 cm である。

対角線 28 cm の合同な正方形 2 枚の重なり

重なりの正方形の 1 辺は 8 cm。1 枚は 392 平方 cm を覆うので 2 枚で 784 となり、覆われた面積 720 との差 64 平方 cm が二重に数えられた分である。

放物線 x² + 8x = −4y − 8 の頂点・焦点・準線

標準形は (x + 4)² = −4(y − 2) なので、頂点は (−4, 2)、焦点は (−4, 1)、対称軸は x = −4、準線は直線 y = 3 である。

四隅を半径 7 m で丸めた 30 × 20 の公園を囲むトラック

トラックは 88 m。各隅で直線 14 m が四分円の弧 3.5π ≈ 11 m に置き換わるので、周 100 m が 4 か所でおよそ 3 m ずつ縮む。

三角形 BCD の面積が 8、BC = 4√2 のときの長方形の周

対角線は長方形を等しい 2 つの三角形に分けるので、長方形の面積は 16。4√2 で割ると他方の辺は 2√2 となり、周は 12√2 である。

四隅を4分円で丸めた 30 m × 20 m の長方形の周長

走路の長さは 44 + 14π = 88 m。各隅で 7 + 7 m の直線が4分円の弧に置き換わるので、周長は隅ごとに約 3 m 短くなる。

等脚台形の柵：上底 12、下底 18、面積 60 m² → 40 m

面積の公式から高さは 4 m。下底のはみ出しは (18−12)/2 = 3 m なので、脚は 3-4-5 の斜辺で 5 m、周は 12 + 18 + 5 + 5 = 40 m になる。

2 辺が 5 と 6 の二等辺三角形：周は 16 か 17

第 3 の辺は 5 か 6 でなければならず、三角形は 5-5-6 と 6-6-5 になる。どちらも三角不等式を満たすので周は一意でなく、16 か 17 である。

対角線が 14 本の多角形と、内角の和と外角の和が等しい多角形

対角線が 14 本の多角形は七角形（n = 7）。内角の和が外角の和に等しい多角形は、(n − 2)180 = 360 より四角形だけである。

直角二等辺三角形 ABC で 2 組の垂直を証明する

どちらの証明も座標 B(0,0)、A(a,0)、C(0,a)、H(t,0)、D(0,−t) から従う。DH と AC、CH と AD の内積はいずれもちょうど 0 になる。

1 組の辺から求める相似な平行四辺形の周の比

比は 4:3。相似な図形では周の比が対応する辺の比に等しいので、8 cm と 6 cm を約分して 4:3 とすればよい。

辺の比が 3 : 4 の相似な部屋の張り替え費用

大きい部屋の費用は384ドル。費用は面積に比例し、面積は辺の比の2乗で変わるので、216ドルに (4/3)² = 16/9 を掛ける。

隣り合う2頂点から正方形の残り2頂点を求める

正方形の隣り合う2頂点が (2, −1) と (−1, 3)。辺のベクトルを90°回転すると正方形は2通りあり、(3, 6) と (6, 2)、または (−5, 0) と (−2, −4) になる。

線分の和：BC = 7、CD = x + 5、BD = 7x のとき CD を求める

CD = 7。7 + (x + 5) = 7x を解くと x = 2 なので CD = x + 5 = 7 となり、線分全体 BD = 14 はちょうど 7 ずつの 2 等分になる。

線分の和：DE = 2、EF = 2x、DF = x + 3 のとき DF を求める

DF = 4。ここでは全体の線分にも x が含まれるので、公理から 2 + 2x = x + 3 となり x = 1。代入すると DF = 4 で、2 ずつの等しい 2 つの部分になる。

線分の和：FG = 4、GH = 8x、FH = 10x のとき FH を求める

FH = 20。4 + 8x = 10x を解くと x = 2 なので FH = 10x = 20 であり、内訳は FG = 4 と GH = 16。ここでは定数項が x を決める。

線分の和の公理：LM = x + 10、LN = 3x のとき LM を求める

LM = 17。公理から (x + 10) + 4 = 3x となり x = 7。これを LM = x + 10 に戻すことが、実際に問われた答えを出す段階である。

線分の和：LM = 14、MN = x + 18 のとき LN を求める

LN = 51、x = 19 から得られる。M が L と N の間にあるので LM + MN = LN から x の 1 次方程式が立ち、x ではなく LN に代入して答える。

線分の和：LM = 6、MN = x + 9、LN = 6x のとき MN を求める

MN = 12。方程式 6 + (x + 9) = 6x の解は x = 3 なので MN = x + 9 = 12。全体 LN = 18 は 6 + 12 に等しく、分割が整合していることが確かめられる。

線分の和：LM = 9、MN = x + 7、LN = 3x のとき MN を求める

MN = 15。9 + (x + 7) = 3x から x = 8 が得られ MN = x + 7 = 15。全体の線分 LN = 24 は公理どおりちょうど 9 + 15 に等しい。

線分の和：QR = 11x、QS = 19x − 8 のとき QR を求める

QR = 33、x = 3 から得られる。R が Q と S の間にあるので QR + RS = QS。11x と 19x がまとまって 8x = 24 となり、代入して x ではなく長さ QR を答える。

線分の和：RS = 6x、ST = 6、RT = 9x のとき RT を求める

RT = 18。6x + 6 = 9x から x = 2 なので RT = 9x = 18 であり、内訳は RS = 12 と ST = 6。係数の比 6 : 9 がその 3 分の 2 の分割を予告している。

線分の和：ST = 6x + 4、SU = 13x − 5 のとき TU を求める

TU = 40、x = 7 から得られる。T が S と U の間にあるので ST + TU = SU と立式し、1 次方程式を解いてから TU の式にだけ代入する。

三角形と周の長さが等しい正方形の 1 辺

正方形の 1 辺は 7.8 cm。正三角形の周の長さは 3 × 10.4 = 31.2 cm で、共通のこの周を 4 辺で割ると 7.8 cm になる。

対角線 18 cm の正方形 2 枚から重なりの正方形の 1 辺を求める

答えは √78、およそ 8.83 cm。各正方形の面積は d²/2 = 162 なので、重なりは 162 + 162 − 246 = 78 平方 cm で、その 1 辺は平方根になる。

対角線 24 cm の正方形 2 枚から重なりの正方形の 1 辺を求める

答えは 8√3、およそ 13.86 cm。各正方形の面積は 288 なので重なりは 576 − 384 = 192 平方 cm で、√192 は 8√3 に簡単になる。

A = πr² を r について解き、A = 78.5 のときの r を求める

公式は r = √(A/π) で、半径は 5 cm。平方根をとる前に π で割る。半径は負にならないので、正の根だけを残す。

S = 2πrh + 2πr² を高さ h について解く

結果は h = S/(2πr) − r。まず 2 つの円の底面を引き、残った辺全体を 2πr で割る。引く前に割ってしまうのがよくある誤りである。

接線と割線のなす 38 度の角から遠いほうの弧を求める

遠いほうの弧は 140 度。円の外部にできる角は 2 つの弧の差の半分なので、38 = (遠 − 64)/2 から 遠 = 76 + 64 が得られる。

方べきの定理：PA = 10、PD = 8 から PC = 12.5、CD = 4.5

点 P の方べきは PA² = PD × PC を満たすので、PC = 100/8 = 12.5 となり、弦 CD = PC − PD = 4.5 が得られる。

体積 729 cm³ の立方体の表面積（まず立方根をとる）

表面積は 486 cm²。729 の立方根から 1 辺 9 cm を求め、合同な 6 つの正方形の面に S = 6a² を適用すると 6 × 81 = 486 cm² が得られる。

体積が 729 立方 cm の立方体の表面積は 486 平方 cm

表面積は 486 平方 cm。729 の立方根から 1 辺 9 を求め、2 乗して 1 面の面積 81 を得たのち、立方体の 6 面分を掛ける。

脚と対辺の中点から台形の面積を求める

脚 BC が 7 cm、反対側の脚の中点が BC から 4 cm の台形の面積は 28 cm²。要は三角形 IBC がつねに台形のちょうど半分になることである。

平行な辺が 45 と 8、高さ 21 の台形の面積

答えは 556.5 平方単位。上を平らに切った三角形のような図形は台形なので、平行な 2 辺の平均 (45+8)/2 = 26.5 に高さ 21 を掛ける。

第3辺が x²−6x+8=0 の解のときの三角形の周長

周長は 12 であり、「10 または 12」ではない。2次方程式は 2 と 4 を与えるが、2 は辺 3 と 5 との三角不等式を満たさず、使えるのは 4 だけである。

5 つの正方形で周の長さが異なる 2 つの図形を作る（12 cm と 10 cm）

1 cm の正方形 5 個を一列に並べると周は 12 cm、3 個と 2 個の塊にすると 10 cm。規則は 周 = 20 − 2 ×（共有する辺の本数）である。

(x − 1)² = 8(y − 2) の頂点・焦点・準線

頂点 (1, 2)、焦点 (1, 4)、軸 x = 1、準線 y = 0。式を (x − h)² = 4p(y − k) に合わせて h, k, p を読み取り、焦点を置けばよい。

放物線 y² + 6y + 9 = 12 − 12x の頂点・焦点・準線

頂点 (1, −3)、焦点 (−2, −3)、軸 y = −3、準線 x = 4。完全平方式に気づいて (y + 3)² = −12(x − 1) と直し、4p = −12 を読む。

直径 2.2 m、頂角 60 度の円錐の体積

V = 1.331√3π/3 = 2.41 立方メートル。頂角 60 度を半分にすると半頂角 30 度になるので、高さは r/tan30 = 1.1√3 = 1.9052 m である。

直径 6 インチの球の体積を 4/3 π r³ で求める

体積は 36π、およそ 113.1 立方インチで、選択肢 113.04 に対応する。まず直径を半分にして r = 3 とする。d = 6 のまま使うと答えが 8 倍になる。

底面の半径 2.2 m、頂角 60° の円錐の体積

体積はおよそ 19.313 m³。頂角 60° から半頂角 30° が得られるので、高さは r√3 = 3.8105 m となり、V = πr²h/3 を適用する。

表面積が 486 平方 cm の立方体の体積

体積は 729 立方 cm。486 を立方体の 6 面で割って 1 面の面積 81 を求め、平方根をとって 1 辺 9 を得たのち 3 乗する。

半径 3、高さ 10 の円柱の体積

答えは 90π、およそ 282.74 立方単位。円柱の体積は底面積 πr² に高さを掛けたものなので、π·3²·10 = 90π となる。

444 × 476 × 14 の直方体の体積を部分積で求める

体積は 2,958,816 立方単位。縦 × 横 × 高さ を計算する際、444 × 476 を部分積に分ければ 3 因子の計算を手で検算できる形に保てる。

底辺 12 インチ、高さ 8 インチの正四角錐の体積

体積は 384 立方インチ。底面の 1 辺を 2 乗して 144 を得、高さ 8 を掛けて 1152 とし、角錐は角柱の 3 分の 1 なので 3 で割る。

底辺 15 m、高さ 8 m の正四角錐の体積

体積は 600 立方メートル。底面の 1 辺を 2 乗して 225 を得、高さ 8 を掛けて 3 分の 1 をとる。この 3 分の 1 こそが角錐と角柱を分けるものである。

直径 12 mm の球の体積：288π ≈ 904.8 mm³

直径を半分にして r = 6 mm とし、V = (4/3)πr³ = 288π を得る。真の π では 904.78 mm³、π = 3.14 に基づく解答例では 904.32 mm³ になる。

三角柱の体積：½·21·15·37 = 5827.5 m³

体積は 5827.5 m³。直角三角形の断面積（1/2 × 21 × 15 = 157.5 m²）を求め、柱の長さ 37 m を掛ける。

軸断面がひし形の斜円柱の体積

斜円柱の軸断面が1辺2 cm、角60°のひし形である。ひし形の面積から半径と高さを求め、体積を計算する。

辺 TA に平行な平面で切った正四角錐の体積比

AD と AB の中点を通り TA に平行な平面は、四角錐を 9 : 23 に分ける。切り口は五角形で、高さで切って積分すると厳密に 3/32 が得られる。

平面 PQK で切った正四角錐の 2 つの立体の体積

2 つの立体の体積は 2a²t/45 と 13a²t/45。座標を使って平面 PQK が 4 本の側稜と交わる点を求め、四面体の体積比の規則を適用する。