斜円柱の軸断面が1辺2 cm、角60°のひし形である。その体積を求めよ。

Step-by-step solution

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   斜めであっても体積の公式は変わらないことを思い出す。 カヴァリエリの原理により、直円柱でも斜円柱でもどんな円柱でも

   $V = (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$

   が成り立つ。ここで高さは、斜めの軸に沿った長さではなく、底面に垂直に測った距離である。

2. 2

   軸断面とは何かを理解する。 これは軸を通り、底面に垂直な平面で切った断面である。その面積は

   $A_{\text{char}} = (\text{底面の直径}) \times (\text{高さ}) = 2r \cdot h$

   である。

3. 3

   ひし形の面積を計算する。 1辺 $a$、はさむ角 $\varphi$ のひし形について、

   $A_{\text{rhombus}} = a^2 \sin\varphi = 2^2 \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \text{cm}^2$

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   2つを結びつける。 $2rh = 2\sqrt{3}$ と置くと

   $rh = \sqrt{3}$

5. 5

   ひし形という条件から $r$ と $h$ を別々に定める。 軸断面では、2種類の辺の長さは底面の直径 $2r$ と母線の長さ $L$ である。ひし形は4辺すべてが等しいので、

   $2r = L = a = 2 \implies r = 1,\qquad L = 2$

   となる。垂直方向の高さは $h = L\sin\varphi = 2\sin 60^\circ = \sqrt{3}$ である。

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   体積の公式に代入する。

   $V = \pi r^2 h = \pi (1)^2 \sqrt{3} = \sqrt{3}\,\pi \approx 5.44\ \text{cm}^3$

   手早い整合性の確認：$2rh = 2(1)(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$ となり、ステップ3のひし形の面積と一致する。