三角形 ABC で、L を辺 BC 上の点として角の二等分線 AL を引く。角 ALC は 98 度、角 ABC は 60 度である。角 ACB を度数で求めよ。

Step-by-step solution

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   求めたい角そのものを未知数に置く。 $\angle ACB = x$ とする。問われている角を変数に選べば、以後の式はすべて $x$ だけで書けるようになり、未知の角を3つ抱え込まずに済む。

2. 2

   三角形 $ABC$ の内角の和から $\angle A$ を表す。 3つの角の和は $180^\circ$ なので、

   $\angle A = 180^\circ - 60^\circ - x = 120^\circ - x$

3. 3

   二等分線でその角を半分にする。 $AL$ は $\angle A$ を二等分するので、三角形 $ALC$ の内側に入る部分は

   $\angle CAL = \frac{120^\circ - x}{2}$

   である。二等分線という条件を使うのはここだけで、これが大きい三角形と小さい三角形を結びつけている。

4. 4

   三角形 $ALC$ の内角の和を書く。 $L$ は線分 $BC$ 上にあるので、三角形 $ALC$ の $C$ における角は同じ $\angle ACB = x$ である。よって

   $\frac{120^\circ - x}{2} + 98^\circ + x = 180^\circ$

5. 5

   1次方程式を解く。

   $\frac{120 - x}{2} + x = 82 \;\Longrightarrow\; 60 - \frac{x}{2} + x = 82 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{2} = 22$

   $x = 44^\circ$

6. 6

   4つの角がすべて整合することを確かめる。 $x = 44^\circ$ とすると $\angle A = 76^\circ$ で、その半分はそれぞれ $38^\circ$ である。三角形 $ALC$ では $38^\circ + 98^\circ + 44^\circ = 180^\circ$、三角形 $ABC$ では $76^\circ + 60^\circ + 44^\circ = 180^\circ$。どちらも成り立つ。