正方形の隣り合う2頂点が A(2, −1) と B(−1, 3) である。残り2頂点の座標を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   与えられた辺をベクトルに直す。 $A$ と $B$ は隣り合う頂点なので、線分 $AB$ は対角線ではなく正方形の1辺そのものである。そのベクトルは

   $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2,\;3-(-1))=(-3,\,4),$

   で、長さは $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$ である。つまり正方形の1辺は $5$ である。

2. 2

   そのベクトルを90°回転して隣の辺を得る。 正方形では隣り合う辺は垂直で長さが等しい。これはまさに $90^\circ$ 回転が作り出すものである。$(x,y)$ を反時計回りに回すと $(-y,x)$、時計回りに回すと $(y,-x)$ になるので、$(-3,4)$ からの候補は

   $(-4,-3)\qquad\text{と}\qquad(4,3),$

   の2つで、どちらも長さ $5$ である。回転が2通りあるということは、$AB$ の両側に1つずつ、正方形も2通りあるということである。この問題文のままでは答えが2つあり、片方だけ答えるのは不完全である。

3. 3

   場合1：$(4,3)$ だけ平行移動する。 このベクトルを与えられた各頂点に足すと、辺 $AB$ が正方形の反対側の辺までずれる：

   $D=A+(4,3)=(6,2),\qquad C=B+(4,3)=(3,6).$

   正方形は $A(2,-1)$、$B(-1,3)$、$C(3,6)$、$D(6,2)$ である。

4. 4

   場合2：$(-4,-3)$ だけ平行移動する。 逆向きの回転を使うと、鏡像の正方形が得られる：

   $D=A+(-4,-3)=(-2,-4),\qquad C=B+(-4,-3)=(-5,0).$

   正方形は $A(2,-1)$、$B(-1,3)$、$C(-5,0)$、$D(-2,-4)$ である。

5. 5

   どちらの正方形も検証する。 どちらの場合も4辺はすべて長さ $5$ で、2本の対角線はどちらも $5\sqrt{2}\approx 7.071$ である。対角線が等しく、その長さが 1辺$\times\sqrt2$ になることが、正方形をひし形と区別する。内積 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ がどちらの場合も成り立ち、直角であることが確認できる。