四角形の土地の辺の長さが 15 m、10.2 m、4.5 m、15.3 m である。辺の長さだけからこの土地の面積は求められるか。

Step-by-step solution

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   4辺だけでは足りない。 三角形と違って四角形は 剛体ではない。頂点を蝶番のようにして形を変えられる。同じ4つの辺の長さでも面積の異なる図形が無数に作れるので、辺の長さだけから答えを1つに定める公式は存在しない。

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   あと1つ何が分かれば決まるかを押さえる。 次のどれか1つがあれば形は定まる。対角線、内角の1つ、高さ、あるいは特定の種類の四角形だと分かっていること（台形、平行四辺形、円に内接する四角形）。

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   対角線が分かれば2つの三角形に分ける。 $15$ の辺と $4.5$ の辺の間の頂点どうしを結ぶ対角線 $d$ を引く。すると辺が $15$、$10.2$、$d$ の三角形と、辺が $4.5$、$15.3$、$d$ の三角形に分かれる。

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   それぞれにヘロンの公式を使う。 辺が $a, b, c$、半周長が $s = \tfrac{a+b+c}{2}$ の三角形について、

   $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

   これで四角形の面積は $A = A_1 + A_2$ となる。

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   覚えておきたい特別な場合。 四角形が 円に内接する（4頂点が1つの円上にある）なら、辺の長さだけで面積が決まり、ブラーマグプタの公式が使える：

   $A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

   これは、その4辺で実現できる最大の面積でもある。