凸五角形の5つの外角の比が 1 : 2 : 3 : 4 : 5 である。5つの内角と、それらの比を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   内角ではなく外角から出発する。外角の和は辺の数によらない事実だからである。 凸多角形を一周すると向きはちょうど1回転するので、

   $\text{外角の和}=360^\circ$

   が三角形でも五角形でも百角形でも成り立つ。この1つの定数があるからこそ、与えられた比が使えるようになる。

2. 2

   比例定数を導入して解く。 外角を $k,2k,3k,4k,5k$ と書くと、

   $k+2k+3k+4k+5k=15k=360^\circ$

   $k=24^\circ$

3. 3

   外角を並べる。

   $24^\circ,\quad 48^\circ,\quad 72^\circ,\quad 96^\circ,\quad 120^\circ$

   5つとも正で $180^\circ$ 未満なので、これらの角をもつ凸五角形は幾何的に存在しうる。

4. 4

   各外角を内角に直す。 各頂点で内角と外角は一直線をなすので、互いに補角である：

   $\text{内角}=180^\circ-\text{外角}$

   $180-24=156^\circ,\quad 180-48=132^\circ,\quad 180-72=108^\circ,\quad 180-96=84^\circ,\quad 180-120=60^\circ$

5. 5

   内角の和で検算する。 $n$ 角形の内角の和は $(n-2)\cdot180^\circ$ で、ここでは $(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$ である：

   $156+132+108+84+60=540\;\checkmark$

   これは独立した確認になる。計算にはいっさい使っていない公式を用いているからである。

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   内角を比に直す。 $156:132:108:84:60$ を共通因数 $12$ で割ると

   $13:11:9:7:5.$

   この比が $5:4:3:2:1$ にならないことに注目したい。$180^\circ$ から引く操作は比例変換ではないので、外角が等差の比であっても、内角は別の等差の比になる。この落とし穴こそがこの問題の狙いである。