1辺 4 cm の正三角形 ABC で、辺 AC 上の点 M と辺 BC 上の点 N が CM = BN を満たす（どちらも頂点とは一致しない）。直線 AN と BM の交点を G とする。(a) H で AB に垂直な高さ CH を引き、CH を求めよ。(b) AN = BM を示し、角 AGM を求めよ。

Step-by-step solution

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   (a) 正三角形では高さが中線を兼ねることを使う。 $CA=CB$ なので、$C$ から下ろした垂線の足 $H$ は $AB$ の中点になり、

   $AH=HB=\frac{AB}{2}=2\ \text{cm}$

   これによって、2辺の長さが分かっている直角三角形に持ち込める。

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   (a) 直角三角形 $ACH$ で三平方の定理を使う。

   $CH^{2}=AC^{2}-AH^{2}=4^{2}-2^{2}=16-4=12$

   $CH=\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3.46\ \text{cm}$

   これは正三角形でおなじみの $\frac{\sqrt3}{2}\times\text{1辺}$ という結果で、ここでは $\frac{\sqrt3}{2}\times 4$ にあたる。

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   (b) 比べるべき三角形の組を正しく選ぶ。 つい選びたくなる $\triangle ABN$ と $\triangle CAM$ の組は うまくいかない。$AM=4-CM$ は一般に $BN$ と等しくないからである。代わりに $\triangle ABN$ と $\triangle BCM$ を比べる：

   $AB=BC=4\ \text{（正三角形）},\qquad \angle ABN=\angle BCM=60^\circ,\qquad BN=CM\ \text{（仮定）}$

   どちらの三角形でも、対応する2辺の間に夾角があるので、これは本物の2辺夾角相等（SAS）の対応である。

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   (b) 2本の線分が等しいことを結論する。 2辺夾角相等より $\triangle ABN\cong\triangle BCM$ であり、対応する部分から

   $AN=BM$

   が得られる。さらに次に必要になる角の等式 $\angle BAN=\angle CBM$ も同時に手に入る。

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   (b) 交点 $G$ のまわりで角を追いかける。 $M$ は $AC$ 上にあるので、半直線 $BM$ は $B$ における $60^\circ$ の角を分割する：

   $\angle ABM=60^\circ-\angle CBM$

   合同から得られた等しい角を足すと、

   $\angle BAN+\angle ABM=\angle CBM+\left(60^\circ-\angle CBM\right)=60^\circ$

   三角形 $ABG$ の $A$ と $B$ における角がまさにこの2つなので、

   $\angle AGB=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

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   (b) 問われている角に直す。 $G$ は線分 $BM$ 上にあるので、$\angle AGM$ と $\angle AGB$ は補角の関係にある：

   $\angle AGM=180^\circ-120^\circ=60^\circ$

   答えが $M$、$N$ の位置によらないことに注意したい。$CM=BN$ を保ったまま2点を辺上で動かすと、2本の線分は一緒に回転し、なす角はつねに $60^\circ$ のままである。$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(2,2\sqrt3)$、$CM=BN=2$ として座標で確かめても $\angle AGM=60^\circ$ となり、正しいことが確認できる。