三角形 ABC で AB = AC であり、D は BC の中点である。AD が BC に垂直であることを証明せよ。

Step-by-step solution

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   与えられた条件と、「垂直」を示すために必要になることを整理する。 与えられているのは $AB=AC$（底辺 $BC$ の二等辺三角形である）と $BD=DC$（中点の定義）である。$AD\perp BC$ を示すには、$\angle ADB$ か $\angle ADC$ のどちらかが $90^\circ$ であることを示せばよい。方針は、この2つの角が等しいことを示したうえで、それらが一直線上にあるという事実を使い、どちらも直角であると結論することである。角を直接計算しようとするより、この道筋の方がはるかに見通しがよい。

2. 2

   三角形 $ABD$ と $ACD$ を比べる。 線分 $AD$ はもとの三角形を2つの小さな三角形に分ける。対応する部分を並べると：

   $AB=AC\quad(\text{仮定})$

   $BD=DC\quad(\text{D は BC の中点})$

   $AD=AD\quad(\text{共通の辺})$

   どの組も一致するので、3辺と3辺が対応していることになる。

3. 3

   3辺相等（SSS）から合同を結論する。 三辺相等の条件により、

   $\triangle ABD\cong\triangle ACD$

   ここで SSS を選ぶのが正しいのは、与えられた3つの事実がすべて長さについてのものだからである。角の情報はいっさい与えられていないので、SAS や ASA を使おうとすれば、証明されていない仮定を追加することになってしまう。

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   その等しさを $D$ における角に移す。 合同な三角形の対応する部分は等しく、1つ目の三角形の $\angle ADB$ は2つ目の $\angle ADC$ に対応するので：

   $\angle ADB=\angle ADC$

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   一直線 $BDC$ を使って値を $90^\circ$ に確定する。 $D$ は線分 $BC$ 上で $B$ と $C$ の間にあるので、2つの角は一直線をなす角の組であり、互いに補角である：

   $\angle ADB+\angle ADC=180^\circ$

   前のステップの等式を代入すると $2\angle ADB=180^\circ$ となり、したがって

   $\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad AD\perp BC$

   2つの事実の両方が必要だった。角が等しいだけでは $90^\circ$ は出ず、補角であるだけでも出ない。この組み合わせが証明を閉じている。

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   座標を使った証明でも確認する。 底辺を対称に置く。$B=(-b,0)$、$C=(b,0)$ とすると中点は $D=(0,0)$ になる。$AB=AC$ という条件から $A$ は $B$ と $C$ から等距離になければならず、ある $h\neq0$ に対して $A=(0,h)$ となる。すると $\vec{DA}=(0,h)$、$\vec{DC}=(b,0)$ で、その内積は

   $\vec{DA}\cdot\vec{DC}=0\cdot b+h\cdot0=0$

   である。内積が $0$ であることは2つの線分が垂直であることを意味し、初等幾何による証明が裏づけられる。おまけに同じ図から、$AD$ が中線であり、高さであり、$A$ からの角の二等分線であり、$BC$ の垂直二等分線でもあることが分かる。この4つが一致するのは、三角形が二等辺のときに限られる。