AB と CD が平行な台形 ABCD で、脚 BC は 7 cm、もう一方の脚 AD の中点 I から直線 BC までの距離は 4 cm である。この台形の面積を求めよ。

Step-by-step solution

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   何が与えられていないかに気づき、それを探すのをやめる。 底辺の長さも台形の高さも与えられておらず、しかも復元できない。このデータに合う台形は無数にある。したがって面積は $BC$ とその1つの距離だけから計算できるはずで、それは通常の「底辺×高さ」ではなく、面積を分割する議論を示唆している。

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   台形を $I$ で分割する。 $I$ と $B$、$I$ と $C$ を結ぶと、台形は3つの三角形 $IAB$、$IBC$、$ICD$ に分かれる。それらの面積の和が全体になる：

   $S_{ABCD} = S_{IAB} + S_{IBC} + S_{ICD}$

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   中点を使って3つのうち2つの高さを確定する。 台形の高さ、すなわち平行な2直線 $AB$ と $CD$ の距離を $h$ とする。$I$ は $AD$ の中点で、$A$ は直線 $AB$ 上、$D$ は直線 $CD$ 上にあるので、$I$ からその平行な2直線それぞれまでの距離は $h/2$ である。したがって

   $S_{IAB} = \tfrac12 \cdot AB \cdot \tfrac{h}{2}, \qquad S_{ICD} = \tfrac12 \cdot CD \cdot \tfrac{h}{2}$

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   足し合わせて台形と比べる。 外側の2つの三角形を足すと：

   $S_{IAB} + S_{ICD} = \frac{(AB+CD)h}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{(AB+CD)h}{2} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$

   外側の2つの三角形がちょうど台形の半分を占めるので、真ん中の三角形が残り半分を占めることになる：

   $S_{IBC} = \tfrac12 S_{ABCD}$

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   与えられたデータから真ん中の三角形を計算する。 三角形 $IBC$ は底辺が $BC = 7$、高さが $I$ から直線 $BC$ までの距離すなわち $4$ である：

   $S_{IBC} = \tfrac12 \cdot 7 \cdot 4 = 14\ \text{cm}^2$

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   2倍して台形の面積を得る。 $S_{IBC}$ は台形の半分なので、

   $S_{ABCD} = 2 \cdot 14 = 28\ \text{cm}^2$

   数値による確認でも、この値が底辺によらないことが分かる。$BC = 7$ と $\operatorname{dist}(I, BC) = 4$ を満たしたまま底辺や高さを大きく変えた台形をいくつ作っても、面積はつねに $28\ \text{cm}^2$ になる。