長方形の公園は 30 m × 20 m である。四隅それぞれに半径 7 m の4分円の花壇を置く。残りの部分のまわりにランニングコースを作る。コースの長さはいくらか。

Step-by-step solution

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   境界が実際に何でできているかを決める。 隅から4分円を取り除くと、その隅そのものがなくなる。残った図形の境界はもはや4本の直線ではなく、短くなった4本の直線と4本の円弧からなる。したがって答えは長方形の周長ではないし、周長から花壇の輪郭全体を引いたものでもない。

2. 2

   各直線を短くする。 どの隅も、一方に走る辺から $7\ \text{m}$、もう一方に走る辺から $7\ \text{m}$ を食べ取る。どの辺も両端でそれぞれ $7\ \text{m}$ 失うので、

   $\text{長い辺：}2(30-2\cdot 7)=2(16)=32\ \text{m},\qquad\text{短い辺：}2(20-2\cdot 7)=2(6)=12\ \text{m},$

   となり、直線部分は合わせて $32+12=44\ \text{m}$ である。（$30-14$ も $20-14$ も正なので、4つの花壇は重ならない。先に進む前に確かめておく価値がある。）

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   4本の弧を足す。 どの弧も半径 $7$ の円の4分の1で、4つ集まればちょうど1つの円になる：

   $4\cdot\frac{1}{4}\left(2\pi r\right)=2\pi(7)=14\pi\ \text{m}\approx 43.98\ \text{m}.$

4. 4

   周の長さを合計する。

   $P=44+14\pi\approx 44+43.98=87.98\ \text{m}.$

   半径が $7$ なので、教科書でよく使う近似 $\pi\approx\tfrac{22}{7}$ を用いると弧の合計はちょうど $2\cdot\tfrac{22}{7}\cdot 7=44\ \text{m}$、総和はちょうど $88\ \text{m}$ になる。$88\ \text{m}$ が意図された答えなのはこのためである。

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   もとの長方形と比べて確かめる。 もとの周長は $2(30+20)=100\ \text{m}$ である。各隅では $14\ \text{m}$ の直線が $\tfrac{7\pi}{2}\approx 11\ \text{m}$ の弧に置き換わるので、およそ $3\ \text{m}$ の短縮になる。四隅で約 $12\ \text{m}$ 短くなり、$100-12=88\ \text{m}$ である。角を丸めれば1周は短くなる。当然の結果である。