ある部屋の木の床を張り替えるのに216ドルかかる。別の大きい部屋は同じ形で、対応する辺の長さの比は 3 対 4 である。大きい部屋の木の床を張り替えるといくらかかるか。

Step-by-step solution

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   費用が実際に何に比例するのかを決める。 張り替えの値段は床の面積あたりで決まるので、費用は辺の長さではなく面積に比例して変わる。ここを正しく捉えることがこの問題のすべてである。$216$ に $\tfrac43$ を掛けてしまうのが典型的な誤りである。

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   辺の比を面積の比に直す。 相似な図形では、対応する長さの比が $k$ なら面積の比は $k^2$ になる。ここでは

   $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

   なので、面積の比は $9:16$ である。

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   小さい部屋を9つ分と置く。 \216$は小さい方の床の費用で、これが比の$9$ の側にあたる：

   $9 \text{ つ分} = \$216 \;\Longrightarrow\; 1 \text{ つ分} = \frac{216}{9} = \$24$

   分数を扱うより1つ分を出す方が安全である。計算がぴったり割り切れるからである。

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   大きい部屋の16つ分に拡大する。

   $16 \times \$24 = \$384$

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   答えの大きさを確かめる。 大きい方の床の面積は $\tfrac{16}{9} \approx 1.78$ 倍で、$216 \times 1.78 \approx 384$ である。$\tfrac43 \times 216 = 288$ よりはっきり大きくなるはずで、その $288$ こそが、面積ではなく長さで拡大したときに出てくる誤答である。