凸四角形 ABCD で AB = BC、AD = CD が成り立ち、角 B は 58 度、角 D は 136 度である。角 A を度数で求めよ。

Step-by-step solution

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   2組の等辺の条件から図形を見抜く。 隣り合う辺が2組等しい（$AB=BC$ と $AD=CD$）ので、$ABCD$ は たこ形（凧形） である。これが効くのは次の理由による。$B$ も $D$ も $A$ と $C$ から等距離にあるので、どちらも $AC$ の垂直二等分線上にある。したがって対角線 $BD$ が対称軸になる。

2. 2

   対称性から $\angle A = \angle C$ を導く。 直線 $BD$ に関して折り返すと $A$ と $C$ が入れ替わり、$B$ と $D$ は動かないので、$A$ の角は $C$ の角にちょうど重なる。よって

   $\angle A = \angle C$

   この事実1つで、未知数4つの問題が未知数1つの問題に変わる。

3. 3

   四角形の内角の和を使う。 どんな四角形でも内角の和は $360^\circ$ である：

   $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

4. 4

   分かっている角と等式を代入する。 $\angle C$ を $\angle A$ に書き換えると：

   $2\angle A + 58^\circ + 136^\circ = 360^\circ$

   $2\angle A = 360^\circ - 194^\circ = 166^\circ$

   $\angle A = 83^\circ$

5. 5

   対角線 $AC$ で分割して検算する。 三角形 $ABC$ は頂角が $58^\circ$ の二等辺三角形なので、底角は $\tfrac{180^\circ-58^\circ}{2}=61^\circ$ となり $\angle BAC = 61^\circ$。三角形 $ACD$ は頂角が $136^\circ$ の二等辺三角形なので $\angle DAC = \tfrac{180^\circ-136^\circ}{2}=22^\circ$。よって $\angle A = 61^\circ + 22^\circ = 83^\circ$ となり、一致する。