対角線の長さが 15 と 7、中位線（中点連結線）の長さが 10 の台形の面積を求めよ。

Step-by-step solution

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   与えられた値を面積の基本公式に載せる。 平行な2辺が $a$、$b$、高さが $h$ の台形について、

   $S=\frac{a+b}{2}\,h=m\,h$

   ここで $m$ は中位線である。いまは $m=10$ なので $S=10h$、また $a+b=2m=20$ となる。あとはすべて高さ次第だが、その高さは問題文に直接与えられていない。

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   対角線を1本平行移動して、データを1つの三角形に集める。 対角線 $BD$ をベクトル $\vec{DC}$ だけ（つまり平行な辺の方向に）平行移動する。端点は長い方の底辺の延長上に来て、3辺が2本の対角線 $15$ と $7$、および $a+b=20$ に等しい底辺である三角形ができる。ここが要で、平行移動しても対角線の長さも図形の高さも変わらない。

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   その三角形の面積が台形と等しい理由。 新しい三角形は底辺が $a+b=20$ で、高さは台形と同じ $h$ なので、面積は $\tfrac12(a+b)h=\tfrac{a+b}{2}h$ となり、これはまさに台形の面積である。つまり三角形の面積を計算することが、そのまま台形の面積を計算することになる。

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   辺が 15、7、20 の三角形にヘロンの公式を使う。 まずこの三角形が存在することを確かめる：$15+7=22>20$。半周長は

   $s=\frac{15+7+20}{2}=21$

   であり、

   $S=\sqrt{21(21-15)(21-7)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 6\cdot 14\cdot 1}=\sqrt{1764}=42$

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   高さを直接求めて検算する。 2本の対角線を底辺の方向に正射影する。射影の長さ $x$ と $20-x$ は

   $15^2=x^2+h^2,\qquad 7^2=(20-x)^2+h^2$

   を満たす。辺々引くと $h^2$ が消えて：

   $225-49=x^2-(20-x)^2=40x-400\;\Longrightarrow\;40x=576\;\Longrightarrow\;x=14.4$

   すると $h^2=225-14.4^2=225-207.36=17.64$ なので $h=4.2$ となり、

   $S=10\cdot 4.2=42$

   独立した2つの方法が一致するので、面積は $42$ である。