x² + 8x = -4y - 8 を標準形に直し、放物線の頂点、焦点、対称軸、準線を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   どちらの変数で平方完成するかを決める。 2乗されているのは $x$ だけなので、これは $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ の形をもつ縦型の放物線である。$x$ の項を片側に集め、もう一方の側に $y$ を1次のまま残すのは、まさにこの形が要求していることである。

2. 2

   $x$ について平方完成する。 係数 $8$ の半分は $4$ で $4^2 = 16$ なので、両辺に $16$ を足して等式を保つ：

   $x^2 + 8x + 16 = -4y - 8 + 16$

   $(x+4)^2 = -4y + 8$

3. 3

   右辺を因数分解して $4p$ と $k$ を露わにする。 $-4$ をくくり出すと標準形になる：

   $(x+4)^2 = -4(y-2)$

   $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ と比べると $h=-4$、$k=2$、$4p=-4$ なので $p=-1$ である。$p$ が負であることは、放物線が下に開くことを意味する。

4. 4

   頂点と対称軸を読み取る。 頂点は $(h,k) = (-4,\,2)$ で、対称軸はそこを通る鉛直な直線 $x=-4$ である。曲線上のどの点も、この直線に関して対称に写る。

5. 5

   $p$ を使って焦点と準線を求める。 焦点は頂点から $|p|$ だけ曲線の内側にあり、準線は同じ距離だけ外側にある：

   $\text{焦点} = (h,\ k+p) = (-4,\ 1), \qquad \text{準線：} y = k - p = 3$

6. 6

   放物線の定義で検算する。 曲線上の任意の点は、焦点と準線から等距離になければならない。$x=0$ を取ると $y=-2$ で、焦点 $(-4,1)$ までの距離は $\sqrt{4^2+3^2}=5$、直線 $y=3$ までの距離は $|-2-3| = 5$ である。両者は一致し、焦点と準線が正しいことが確認できる。