三角形の2辺の長さが 3 と 5 である。第3辺の長さは x の2乗 引く 6x 足す 8 = 0 の解である。この三角形の周長を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2次方程式を解いて候補を出す。 積が $8$、和が $-6$ になる2数を見つけて因数分解する：

   $x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{または}\ x=4.$

   どちらも正なので、「長さは正でなければならない」という当たり前のふるいは両方が通ってしまう。この問題が仕掛けているのは、まさにそこである。

2. 2

   2次方程式が知らない制約を思い出す。 3つの正の数が三角形をなすのは、どの辺も他の2辺の和より短いときに限る。既知の2辺が $3$ と $5$ なので、第3辺 $x$ は

   $5-3<x<5+3,\qquad\text{すなわち}\qquad 2<x<8.$

   を満たさなければならない。

3. 3

   $x=2$ を確かめる。 このとき $3+2=5$ で、残りの辺より大きいのではなく等しくなってしまう。3つの線分は一直線に並んで面積のない退化した図形になるので、$x=2$ は除外しなければならない。

4. 4

   $x=4$ を確かめる。 3つの不等式をすべて確認する：$3+5=8>4$、$3+4=7>5$、$5+4=9>3$。すべて狭義に成り立つので、辺が $3$、$4$、$5$ の本物の三角形が存在する。しかも $3^2+4^2=5^2$ なので、おなじみの直角三角形である。

5. 5

   周長を計算する。 使える解は1つだけなので、答えも1つである：

   $P=3+5+4=12.$

   「$10$ または $12$」と答えるのがよくある誤りで、三角不等式を適用せずに両方の解を使ってしまうことから生じる。