等脚台形の上底が 5、下底が 11、高さが 6 である。この台形に、一辺を下底の上に置き、辺が底辺に平行になるように長方形を内接させる。長方形の面積の最大値を求めよ。

Step-by-step solution

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   台形の幅が高さとともにどう縮むかを求める。 2つの底の差は $11-5=6$ で、対称性から斜辺はそれぞれ高さ $6$ 全体にわたって $\tfrac{6}{2}=3$ ずつ内側に寄る。したがって幅は下底からの高さ $x$ の1次関数となり、$x=0$ での $11$ から $x=6$ での $5$ まで減っていく：

   $w(x)=11-\frac{11-5}{6}\,x=11-x,\qquad 0\le x\le 6.$

2. 2

   長方形の面積を1変数で表す。 長方形の高さを $x$ とし、その底辺を長い方の底に乗せる。上辺は高さ $x$ のところにあり、そこで台形の内側に収まらなければならない。幅は減少していくので、上辺のところが制約になる。したがって最も幅の広い長方形の幅は $w(x)=11-x$ で、面積は

   $A(x)=x(11-x)=11x-x^{2}.$

   となる。

3. 3

   2次関数を最大化する。 $A(x)=-x^{2}+11x$ は上に凸の放物線なので、最大は頂点で取る：

   $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-11}{2(-1)}=\frac{11}{2}=5.5.$

   この値は許される範囲 $0\le x\le 6$ の内部にあるので、端点で切られることのない本当の最大値である。（平方完成しても同じで、$A=\tfrac{121}{4}-\left(x-\tfrac{11}{2}\right)^{2}$ となる。）

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   最大面積を計算する。

   $A\!\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\left(11-\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}=\frac{121}{4}=30.25.$

   最適な長方形は、たまたま一辺 $5.5$ の正方形になる。

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   答えの妥当性を確かめる。 台形自体の面積は $\tfrac{5+11}{2}\cdot 6=48$ なので、最良の長方形はその $\tfrac{30.25}{48}\approx 63\%$ を占めることになり、もっともらしい。$A(x)=x(11-x)$ を $[0,6]$ 上で $10^{-5}$ 刻みで数値的に走査しても $x=5.5$ で最大値 $30.25$ が得られ、頂点の計算が裏づけられる。