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Statistics questions asked by real students

Real statistics questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

色覚異常：P(色覚異常) = 0.02625、P(男性 | 色覚異常) = 20/21

男性の 5%、女性の 0.25% が色覚異常で、男女が半々なら全体の確率は 0.02625。ベイズの定理より P(男性 | 色覚異常) = 0.025/0.02625 = 20/21 ≈ 0.952 となる。

ベイズの定理でスパムメールの確率を求める

キーワードを含むメールがスパムである確率は 7/12 ≈ 58.3%。事前確率、2つの条件付き確率、ベイズの定理の使い方を1ステップずつ確認する。

n = 8 の二項分布で P(5)、P(5 より多い)、P(5 以下)

答えは 0.219、0.145、0.855。n = 8、p = 0.5 ではどの結果も重みが 1/256 なので、場合の数 56、37、219 がそのまま 3 つの確率を与える。

10 人中 4 人未満が当てはまる二項確率

n = 10、p = 0.66 のとき P(X < 4) は約 0.022。X = 0, 1, 2, 3 の 4 項を足す。各項は二項係数 × 0.66^k × 0.34^(10−k) である。

p = 0.5 で 8 人中 5 人に関する二項確率

P(5) = 0.219、P(X > 5) = 0.145、P(X ≤ 5) = 0.855。p = 0.5 ではどの結果も同様に確からしいので、答えはパスカルの三角形の数を 256 で割ったものになる。

3:2:1 の比を検定するカイ二乗適合度検定

カイ二乗値はちょうど 5.84、自由度 2 で棄却限界値 5.991 を下回る。したがって予測された 3:2:1 の比は有意水準 0.05 で棄却されない。

コメディ群と対照群のコーエンの d は 0.37（小〜中）

平均 2.43 と 1.86 の差は 0.57。SS = 17.71 と 10.86 を自由度 12 でプールすると s = 1.543 となり、d = 0.57/1.543 = 0.37 が得られる。

ΣX と ΣX² から効果量 d を求める（N = 8）

効果量は d = 1.33 で、大きな効果である。SS = 351 − 48²/8 = 63 から s = 3 を得て、平均の差 4 を標準誤差ではなく s で割る。

73% の確率 2 つを組み合わせる：53.29% か 92.71%

両方起こる確率は 0.73² = 53.29%、少なくとも一方が起こる確率は 1 − 0.27² = 92.71%。「組み合わせる」は曖昧で、2 つの読みは 39 ポイントも違う。

平均がともに 12 の 17 個データ 2 組の散らばりを比べる

B の標準偏差は 3.29、A は 2.35 なので B のほうが散らばりが大きい。平均も個数も同じなので、偏差平方和 184 対 94 がすべてを決める。

二元表からの条件付き確率：114/250 = 0.456

確率は 0.456。「黒人」で条件づけると標本空間はその行の合計 250 に狭まるので、成人 2 世代の 114 世帯を 1438 ではなく 250 で割る。

条件付き確率 P(白人 | 世代飛ばし世帯) = 53/99

確率は 0.535。「世代飛ばし」で条件づけると列合計 99 が分母になり、白人かつ世代飛ばしのセルが 53 なので 53/99 = 0.535 となる。

世帯所得の水準ごとに見た幸福度の条件付き割合

所得が説明変数、幸福度が応答変数である。行ごとの割合 12.8/61.4/25.8、13.3/64.0/22.7、13.2/58.8/28.0 はほぼ同じで、関連は弱い。

n = 278 の標本から母平均の95%信頼区間を求める

95%信頼区間は (3.94, 13.72)。標準誤差 41.40/√278 = 2.483、t の臨界値 1.969、誤差の限界 4.89 を順に求めていく。

37 名の学生・3 つの評価列の記述統計

平均は 70.43、69.70、78.54、標本標準偏差は 20.67、20.17、13.80。2 名が最初の 2 列で 0 点をとっており、範囲を 90 と 92 まで押し広げている。

21 個の測定値の平均・中央値・最頻値・標準偏差

2.4 付近の 21 個の値について平均は 2.4405、中央値 2.44、範囲 0.16、s = 0.0432。2.40・2.43・2.49 の三峰であり、5 つの指標をすべて求める。

あめ 8 個とクッキー 4 枚を 3 人の子に分ける場合の数

答えは 63 通り、15 通り、39 通り。重複組合せ（仕切り法）で品目ごとに数え、あめとクッキーの選び方は独立なので掛け合わせる。

7 人の支出の平均と、8 人で 2,110 ドルにする 8 人目の額

友人 7 人の平均は 2,179.29 ドルで推定値の 2,110 ドルより高く、8 人の平均を 2,110 ドルに戻すには Ashley の支出が 1,625 ドルでなければならない。

15 人ずつ 2 群の得点から度数分布表を作る（数え違いに注意）

低群では得点 1〜5 の度数が 3, 5, 4, 2, 1、高群では 0, 1, 3, 6, 5 になる。各列の合計が 15 になることが、1 と 3 の取り違えを捕まえる確認になる。

1.5×IQR ルールで要約統計量から外れ値を判定する

IQR = 39.46 なので境界は −41.17 と 116.67 となり、最大値 248 は外れ値。平均 48.00 が中央値 32.50 より大きいことも右に歪んだ分布を示す。

同時密度 A(2−x−y)：A = 2、P(2X−Y<1) = 7/12、F(1/2, 1/4) = 19/64

三角形の台の上で正規化すると A = 2。x = 1/2 で領域を分けると P(2X − Y < 1) = 7/12、隅の長方形上で積分すると F(1/2, 1/4) = 19/64 で、F(1/2, −1) = 0 である。

f(x,y) = cx（0 < x ≤ 1、0 ≤ y ≤ x）では c = 3 で X と Y は独立でない

正規化すると c = 3。周辺密度は (0,1] 上で 3x²、[0,1] 上で (3/2)(1 − y²) となり、その積は同時密度に一致しないので X と Y は独立でない。

f(x,y) = cx²y（x² ≤ y ≤ 1）では c = 21/4、周辺密度もこう出る

放物線 y = x² と直線 y = 1 の間の領域で正規化すると c = 21/4。周辺密度は [−1,1] 上で (21/8)x²(1 − x⁴)、[0,1] 上で (7/2)y^(5/2) となる。

訓練前後の体重：平均 77.81 と 76.20 kg、標準偏差 15.94、16.19

15 人の体重を平均すると訓練前が 77.81 kg、訓練後が 76.20 kg。標本標準偏差（n − 1 = 14 で割る）はそれぞれ 15.94 kg と 16.19 kg である。

日々の欠勤者数の分布の平均・分散・P(X > 2)

平均は 2.23 人、分散は 2.3571、3 人以上が欠勤する確率は 0.52。偏差の平方を 6 つ展開するのではなく E(X²) − μ² を使う。

(0, 2) 上の三角形分布の期待値と分散

密度 f(x) = x（0 < x ≤ 1）、2 − x（1 ≤ x < 2）に対して E(X) = 1、Var(X) = 1/6。対称性から平均は即座に分かり、E(X^2) = 7/6 から分散が出る。

中古ベースギター 8 件の価格の平均・中央値・最頻値

平均は 679.63 ドル、中央値は 689.50、最頻値は 699。8 件の合計は 5,437 なので、平均を 670.63 とする表記は桁の入れ替わりによる誤りである。

3, 7, 5, 9, 5, 2 の平均・中央値・最頻値を順に求める

答えは平均 31/6 = 5.1667、中央値 5、最頻値 5。平均は足して割り、中央値は並べ替えてから真ん中 2 つを平均し、最頻値は重複を数える。

6, 7, 3, 4, 9, 5 の平均・中央値・最頻値（最頻値なし）

平均は 17/3 = 5.67、中央値は 5.5。どの値も 1 回ずつしか現れないので、このデータに最頻値は存在しない——はっきり認識しておく価値のある場合である。

大学生 7 人の支出の平均と、2110 に戻すための 8 人目の値

平均は 2,179.29 ドルで、見積もりの 2,110 を上回る。8 人の平均を 2,110 にするには、追加の金額が 8(2110) − 15,255 = 1,625 ドルでなければならない。

半数が 40 点、数名が 80 点、残りが 58 点：平均と中央値の比較

平均のほうが中央値より大きい。中央値は 49 に固定される一方、平均は 49 + 22k/N になるので、少数の 80 点が平均を必ず上へ引き上げる。

半数が 78 点、数名が 55 点、残りが 74 点：平均と中央値の比較

平均のほうが中央値より小さい。中央値はクラスの人数によらずちょうど 76 だが、平均は 76 − 19k/N なのでそれに届かない。

半数が 92 点、数名が 54 点、残りが 73 点：平均と中央値の比較

平均のほうが中央値より小さい。中央値は 82.5 に固定される一方、平均は 82.5 − 19k/N なので、少数の 54 点が平均を下へ引きずり下ろす。

シグマ記号で表す 3 通りの範囲の水道料金の平均

平均は年間で 47.33 ドル、1〜6 月で 43.00 ドル、4〜11 月で 50.25 ドル。変わるのは公式ではなく総和の上端と下端である。

得点 1、5、2 のじゃんけんにおける混合戦略

グーを 1/4、パーを 1/8、チョキを 5/8 で出す。3 つの純粋戦略の期待利得を等しくすると 5q − r = −5p + 2r = p − 2q = 0 となり、対称ゲームなので値は 0 である。

標本 1, 2, 3 に対する 95% 信頼区間

区間は −0.48 から 4.48。n = 3 では t の臨界値が 4.303、標準誤差が 1/√3 なので、誤差の幅は 2.48 と非常に広くなる。

正規分布の90パーセンタイル：試験の所要時間

試験の所要時間は平均58分、標準偏差12分の正規分布に従う。90パーセンタイルの z 値を使って、90%の学生が終えている時間を求める。

X ~ N(55, 10) で右側の裾から P(X > 58.253) を求める

確率はおよそ 0.3725。z 得点は +0.3253 で、左側の面積は 0.62752、これを 1 から引いて右側の裾の確率 0.37248 を得る。

z 得点で X ~ N(55, 10) の P(X < 40.851) を求める

確率はおよそ 0.0785。標準化すると z = (40.851 − 55)/10 = −1.4149 で、標準正規分布でその左側の面積は 0.078549 である。

4×4 の道路網における最短経路：C(6,3) = 20 通り

東か南にしか進まないので、どの経路も東 3 回と南 3 回を並べ替えたものになる。よって 6 回のうち東 3 回をどこに置くかの選び方の数、すなわち 20 通りである。

ΣX と ΣX² から 9.00 に対する 1 標本 t 検定を行う

結果は t = −2.83。和から平均 6、s = 3 を求め、標準誤差 3/√8 = 1.0607 で割る。符号は負のまま残す。

N・ΣX・ΣX² から求める1標本 t 検定

N = 8、ΣX = 48、ΣX² = 351 のとき平均は 6、s = 3、自由度 7 で t = 3.771（p = 0.007）。.05 と .01 で棄却でき、Cohen の d = 1.33 になる。

一元配置分散分析：群ごとの合計から η² を求める

η² は 43.14/86.57 = 0.498、およそ 0.50。群ごとの ΣX と ΣX² から全体平方和と群間平方和を作り、F(2, 18) = 8.94、p = 0.002 で締めくくる。

自由度 1 でカイ二乗 = 137.38 のときの p 値

答えは p ≈ 9.96 × 10⁻³²。カイ二乗統計量を z = 11.72 に直し、正規分布の両側の裾から厳密な裾確率を求める。

対応のある t 検定：トレーニング前後の BMI

15人の BMI は平均 0.86 低下し、対応のある t 検定では自由度 14 で t = 2.363、p = 0.033 となる。5% 水準で有意な減少である。計算過程も示す。

平均 12 の 17 個のデータの母標準偏差

σ はおよそ 2.35。偏差平方和 94 を 17 で割って求める。平均がちょうど 12 なので偏差はすべて整数になり、丸め誤差が入り込まない。

最初の 5 枚があとの 3 枚の確率を変えない理由

確率は 15796/34220 = 46.16%。交換可能性により、中身を見ていない初手のあとに引く 3 枚は、60 枚の山から直接引く 3 枚と同じようにふるまう。

p = 0.2 の独立な 5 事象：5 つとも起こる確率と期待個数

答えは P(5 つとも起こる) = 0.2⁵ = 0.00032、およそ 0.032%。起こる個数の期待値は二項分布の平均の公式より np = 5 × 0.2 = 1 である。

命中率 0.2, 0.3, 0.5 の砲：P(1 門以上) = 0.72、P(ちょうど 1 門) = 0.47

独立事象なので、少なくとも 1 門が当たる確率は余事象から 1 − (0.8)(0.7)(0.5) = 0.72。ちょうど 1 門なら、排反な 3 つの積を足す。

赤玉3個・白玉5個から2個引いて両方赤の確率

確率は 3/28、約 10.7%。C(3,2) = 3 通りの当たりを C(8,2) = 28 通り全体と比べるか、1個ずつ 3/8 × 2/7 と掛けてもよい。

余事象の法則で求める「少なくとも 1 個は青玉」の確率

答えは 791/792 = 0.99874。赤 5 個・青 7 個から 5 個を引くとき、C(12,5) = 792 通りの同様に確からしい選び方から、赤だけの 1 通りを引く。

12 個から 6 個引いて少なくとも 1 個が青玉になる確率

答えは 923/924、およそ 99.89%。6 個の選び方 924 通りのうち青を完全に外すのは 1 通りだけなので、余事象の法則で 1 行で求まる。

2つの印のグループから少なくとも1枚ずつ引く確率

60枚から5枚引くとき、A印5枚とB印23枚の両方から少なくとも1枚を含む確率は 1748230/5461512 = 32.01%。包除原理で求める。

3 枚引いて 9 枚の印つきカードを少なくとも 1 枚当てる確率

答えは 13395/34220、およそ 39.14%。余事象の法則で 3 通りの場合が 1 つになる。1 − C(51,3)/C(60,3) で、C(51,3) は印なしだけを引く場合の数である。

サイコロを 8 回振って少なくとも 1 回 6 が出る確率

確率は 1 − (5/6)⁸、およそ 0.7674。「少なくとも 1 回」は「1 回も出ない」の余事象であり、8 回連続で 6 を避ける確率が (5/6)⁸ である。

赤6・青6から6個引いて赤が2個以上の確率

確率は 887/924 = 0.96。「2個以上」を直接数えると5通りになるので余事象を使う。赤0個と赤1個は 924 通りのうちわずか 37 通りしかない。

サイコロを 4 回振って 1 が高々 3 回である確率

確率は 1295/1296、およそ 0.99923。「高々 3 回」の余事象は「4 回とも」であり、それはただ 1 通りで確率 (1/6)⁴ = 1/1296 である。

52 枚のトランプから K を引く確率

確率は 4/52 = 1/13、およそ 0.0769、すなわち 7.69%。同様に確からしい 52 枚のうち K は 4 枚と数え、4:48 のオッズでも確かめる。

1, 2, 3 のカードを 5 回引いてちょうど 1 回 3 が出る確率：80/243

これは n = 5、p = 1/3 の二項分布である。C(5,1)(1/3)(2/3)⁴ = 5 × 16/243 = 80/243、およそ 0.329 になる。

15 個から 5 個引く（不良 3 個）：P = 20/91 と 22/91

超幾何分布の数え方 C(3,k)C(12,5−k)/C(15,5) を使う。ちょうど 2 個なら 660/3003 = 20/91、不良は 3 個しかないので少なくとも 2 個は 3 個の場合 66 を足して 22/91 になる。

空白のマスを引く確率：44 マス中 30 マスが空白

確率は 30/44 = 15/22 ≈ 0.6818、およそ 68.18%。都合のよい場合の数を全体の場合の数で割り、共通因数 2 で約分する。

公正な 6 面サイコロで 6 が出る確率：1/6

確率は 1/6 ≈ 0.1667、およそ 16.67%。公正なサイコロには同様に確からしい結果が 6 通りあり、そのうち 6 はちょうど 1 通りなので、6 分の 1 になる。

1, 2, 3 から 5 回引いて 2 番目に大きい値が 3 になる確率：131/243

b = 3 とは 5 回のうち少なくとも 2 回 3 が出ることなので、1 から「3 が 0 回」と「3 が 1 回」の二項の項を引く：1 − 32/243 − 80/243 = 131/243。

1〜10 の玉から 3 個：P(最小 = 5) = 1/12、P(最大 = 5) = 1/20

5 を必ず含めたうえで、残り 2 個を 5 より上（C(5,2)=10）または下（C(4,2)=6）から選ぶ。全体は同様に確からしい C(10,3)=120 通りである。

3点を通る2次回帰と R² = 1 になる理由

(10, 2.9)、(20, 4.0)、(30, 4.9) の当てはめは y = -0.001x^2 + 0.14x + 1.6 で R^2 = 1。3点はぴたりと放物線上にあり、残差はすべて 0 になる。

テューキー法の四分位数と通常の四分位数（25個のデータ）

テューキーのヒンジでは Q1 = 27、Q3 = 39、中央値を除く方法では 26.5 と 40.5。25人の年齢を例に、2つの流儀が食い違う理由を確かめる。

5.53 から 6.19 までの 6 個の値の標本標準偏差

標本標準偏差はおよそ 0.249。平均 5.7417、偏差平方和 0.3099 から求まる。突出した 6.19 がばらつきの大半を担っていることも確かめる。

平均をちょうど 18,500 ドルにする 7 件目の見積額

7 件目の見積は 19,400 ドルでなければならない。目標の平均に 7 を掛けて必要な合計 129,500 ドルを出し、すでに得ている 110,100 ドルを引く。

100a + 10b + c = 5.9 ほか 2 式を c 消去で解く：a = −0.0025, b = 0.325, c = 2.9

解は a = −0.0025、b = 0.325、c = 2.9。隣り合う式どうしを引くと c が消え、30a + b = 0.25 と 50a + b = 0.2 が残るので 20a = −0.05 となる。

z スコアの式 z = (x − m)/d を平均 m について解く

変形した式は m = x − zd。まず両辺に標準偏差を掛け、次に m を孤立させる。z が正であることは、その値が平均より上にあることを意味する。

2.9, 2.5, 2.9 の標準偏差（同じ値が重複する場合）

標本標準偏差は s ≈ 0.2309、母標準偏差は σ ≈ 0.1886。平均 2.7667 は循環するので、偏差を 2 乗する前に桁を多めに保つ必要がある。

4, 8, 6, 5, 3 の標準偏差（母集団と標本）

母標準偏差は 1.72、標本標準偏差は 1.92。平均は 5.2、偏差の平方和は 14.8 になる。n で割るか n − 1 で割るかを見きわめる。

平均 4.25 の 9 個の測定値：母標準偏差と標本標準偏差

母標準偏差は 0.0125、標本標準偏差は 0.0132。平均 4.25、平方和はわずか 0.0014 である。元データのコンマは区切りではなく小数点を表す。

0.645, 0.656, 0.652 の標準偏差（標本と母集団）

標本標準偏差は s ≈ 0.005568、母標準偏差は σ ≈ 0.004546。平均はちょうど 0.651 で、偏差は −0.006、+0.005、+0.001 になる。

15 名の変化前後の標本標準偏差（11.81 と 12.30）

標本標準偏差はそれぞれ 11.81 と 12.30 パーセントポイント、平均は 24.96 と 23.71。印刷された変化前の平均 24.99 は誤りで、15 個の値の平均は実際には 24.96 である。

Σx = 10、Σx² = 60、n = 5 のときの平均の標準誤差

標準誤差は 1.414 で、示された選択肢はどれも正しくない。SS = 60 − 100/5 = 40 から s = 3.162 が出て、√5 で割ると √2 が残る。

ΣX = 8、ΣX² = 46、n = 4 から平均の標準誤差を求める

標準誤差は 1.581。SS = 46 − 8²/4 = 30 を求め、n − 1 = 3 で割って s = 3.162 を得たあと、それを √4 = 2 で割ると 1.581 になる。

25 個の年齢の Tukey 四分位数：Q1 = 27、Q3 = 36

Tukey のヒンジ法では中央値を両方の半分に含めるので、各半分が 13 個になり四分位数はその 7 番目、すなわち 27 と 36 になる。除外法が与える 26 と 39 ではない。

z 統計量 2.1 に対する両側 p 値

p 値はおよそ 0.0357。z = 2.1 より上の裾の面積は 0.0179 で、両側検定では −2.1 より下の対称な裾も数えるため 2 倍にする。

14 から 17 までの 95% 信頼区間が本当に意味すること

この方法で作った区間の 95% が真の母平均を捉える、という意味である。区間 14〜17 は μ を含むか含まないかのどちらかで、信頼度は方法についての性質である。

平均 31.68、標準偏差 9.694 における最小値 11 と最大値 47 の z 得点

z = (x − 平均)/標準偏差 より、最年少は −2.133、最年長は 1.580。2 つの z 得点の非対称性そのものが、この標本の左に歪んだ分布を示す証拠になる。